题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形[师说考点]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.[典例](1)(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan＝________．[解析]由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.tan＝tan＝－＝－＝－×＝－.[答案]－(2)(2016·河南六市联考)已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．[解析]由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，∴sin＝，sin＝，∴sin＝－sin＝－.[答案]－“三角恒等变换的4”大策略(1)“常值代换：特别是1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[演练冲关]1．(2016·贵阳模拟)已知α∈，sinα＝，则tan＝()A．－B.C.D．－解析：选C因为α∈，所以cosα＝－，所以tanα＝－，所以tan＝＝＝.2．(2016·东北四市联考)已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C.D．0解析：选D sin＝cos，∴cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－(－)cosα，∴tanα＝＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.[师说考点]1．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.3．三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.[典例](1)(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.[解析]因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝.[答案](2)(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.①求C；②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解]①由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.②由已知得absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.正、余弦定理的适用条件(1)“”“”已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角应采用正弦定理．(2)“”“”已知两边和这两边的夹角或已知三角形的三边应采用余弦定理．[注意]“”应用定理要注意三统一，“”即统一角、统一函数、统一结构．[演练冲关]1．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝()A．－B.C．－D.解析：选B由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.2．(2016·福建质检)在△ABC中，B＝，AB＝2，D为AB中点，△BCD的面积为，则AC等于()A．2B.C.D.解析：选B因为S△BCD＝BD·BCsinB＝×1×BCsin＝，所以BC＝3.由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3cos＝7，所以AC＝，故选B.3．(2016·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值．解：(1) asinB＝－bsin，∴由正弦定理得sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化简得tanA＝－， A∈(0，π)，∴A＝.(2) A＝，∴sinA＝，由S＝c2＝bcsinA＝bc，得b＝c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sinC＝＝.[师说考点]解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需...
