第23练数列求和问题[题型分析·高考展望]数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题．体验高考1．(2015·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．答案27解析由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.2．(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.答案1121解析由解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴Sn＝(3n－1)．∴S5＝121.3．(2015·课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝＝.4．(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n≥2时，Sn－1＝3n2＋2n－5，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，符合{an}通项公式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2…＋＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23…＋＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24…＋＋(n＋1)×2n＋2]．两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24…＋＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.高考必会题型题型一分组转化法求和例1(2016·天津)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an与log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．解(1)设数列{an}的公比为q.由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)…＋＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4…＋＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.点评分组求和常见的方法：(1)根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可能是等差数列或等比数列；(2)根据正号、负号分组；(3)根据数列的周期性分组；(4)根据奇数项、偶数项分组．变式训练1(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．解(1)由题意得则又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1，当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn＝3＋－＝，所以Tn＝题型二错位相减法求和例2(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1…＋＋＋＋＋＋，①Tn…＝＋＋＋＋＋＋.②①－②可得Tn＝2…＋＋＋＋－＝3－，故Tn＝6－.点评错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}“对应项{an·bn}”型数列求和．(2)步...
