46分大题保分练(四)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sinB－cosC)＝(c－b)cosA.(1)求角A；(2)若b＝，点D在BC边上，CD＝2，∠ADC＝，求△ABC的面积．[解]法一：(1)根据正弦定理，及a(sinB－cosC)＝(c－b)cosA，得sinA(sinB－cosC)＝(sinC－sinB)cosA，所以sinAsinB＋sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA，即sinAsinB＋sinBcosA＝sin(A＋C)．又A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sinB，所以sinAsinB＋sinBcosA＝sinB.又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以sinA＋cosA＝1，即sin＝.又0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，解得A＝.(2)如图，在△ACD中，AC＝b＝，CD＝2，∠ADC＝，由正弦定理，得＝，即＝，所以sin∠CAD＝1，∠CAD＝.从而∠ACD＝π－－＝，∠ABC＝π－－＝，所以AB＝AC＝.故S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×××sin＝.法二：(1)因为a(sinB－cosC)＝(c－b)cosA，所以asinB＝acosC＋(c－b)cosA，由余弦定理，得asinB＝a·＋(c－b)·，化简得2acsinB＝2bc－(b2＋c2－a2)，所以2acsinB＝2bc－2bccosA，即asinB＝b－bcosA.由正弦定理，得bsinA＝b－bcosA.所以sinA＝1－cosA，所以sin＝.又0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，A＝.(2)在△ACD中，AC＝b＝，CD＝2，∠ADC＝，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即3＝AD2＋4－2×AD×2×，解得AD＝1，从而AD2＋AC2＝CD2，所以∠CAD＝，所以∠ACD＝π－－＝，∠ABC＝π－－＝，所以AB＝AC＝.故S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×××sin＝.18．(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解]法一：(1)如图，连接CM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC.所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1.因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM.因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A1C.(2)连接B1M.在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B1N.所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即＝.因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝，A1B1＝2.设AA1＝x，则A1N＝.所以＝，解得x＝2.从而S△A1B1M＝S正方形ABB1A1＝2，A1C＝B1C＝2.在△A1CB1中，cos∠A1CB1＝＝，所以sin∠A1CB1＝，所以S△A1B1C＝A1C·B1C·sin∠A1CB1＝.设点M到平面A1B1C的距离为d，由V三棱锥MA1B1C＝V三棱锥CA1B1M，得S△A1B1C·d＝S△A1B1M·CM，所以d＝＝，即点M到平面A1B1C的距离为.法二：(1)同法一．(2)在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B1N，所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即＝.因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝，A1B1＝2.设AA1＝x，则A1N＝，所以＝，解得x＝2.如图，取A1B1的中点D，连接MD，CD，过M作MO⊥CD于O.在正方形ABB1A1中，易知A1B1⊥MD，由(1)可得CM⊥A1B1，又CM∩MD＝M，所以A1B1⊥平面CDM.因为MO⊂平面CDM，所以A1B1⊥MO.又MO⊥CD，A1B1∩CD＝D，所以MO⊥平面A1B1C，即线段MO的长就是点M到平面A1B1C的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝＝.S△CMD＝·CD·MO＝·CM·MD，即××MO＝××2，解得MO＝，故点M到平面A1B1C的距离为.19．(12分)(2019·合肥模拟)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y(单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y＝blnx＋a拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；(2)如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：xi＝55，yi＝155.5，(xi－)2＝82.5，(xi－)(yi－)＝94.9，ti＝15.1，(ti...
