第10练三角恒等变换与解三角形[明晰考情]1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.解(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，即sinB＝cos，所以tanB＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.由bsinA＝acos，可得sinA＝.因为a＜c，所以cosA＝.因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.2.(2018·唐山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30°.(1)求证：BC＝4cos∠CBD；(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由.(1)证明在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，由正弦定理可知，＝，所以BC＝4sin∠BAC.又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，则∠BAC＋∠CBD＝90°，则sin∠BAC＝cos∠CBD，所以BC＝4cos∠CBD.(2)解CD为定长，因为在△BCD中，由(1)及余弦定理可知，CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD，＝BC2＋4－4BCcos∠CBD＝BC2＋4－BC2＝4，所以CD＝2.3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且＋＝.(1)求角A的大小；(2)若＝＋，a＝，求b的值.解(1)由题意，可得＋＝3，即＋＝1，整理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理知，cosA＝＝，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)根据正弦定理，得＝＝＝＝＋cosA＝＋＝＋，解得tanB＝，所以sinB＝.由正弦定理得，b＝＝＝2.考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长.解(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理，得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.5.(2018·内蒙古集宁一中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC.(1)求角C的大小；(2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积.解(1)由2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得，2absinC＝a2＋b2－c2，∴sinC＝，∴sinC＝cosC，∴tanC＝， C∈(0，π)，∴C＝.(2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，得asinB＝bcosA，由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝.根据正弦定理可得＝，解得c＝，∴S△ABC＝acsinB＝×2×sin(π－A－C)＝sin＝.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B的大小；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又 A＝π－(B＋C)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②和C∈(0，π)，得sinB＝cosB.又 B∈(0，π)，∴B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立.因此△ABC面积的最大值为＋1.考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性...
