第12练数列的综合问题[明晰考情]1.命题角度：考查等差数列、等比数列的判定与证明；以an,Sn的关系为切入点，考查数列的通项、前n项和等；数列和函数、不等式的综合应用；一般位于解答题的17题位置.2.题目难度：中等偏下难度.考点一等差数列、等比数列的判定与证明方法技巧判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d，d为常数，则{an}为等差(比)数列.(2)中项公式法.(3)通项公式法.1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.2.已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*.(1)设bn＝，证明：{bn}为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n项和Sn.解(1)把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1，得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1，两边同除以2n＋1，得bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1，∴{bn}为等差数列，首项b1＝＝1，公差为1，∴bn＝n(n∈N*).(2)由bn＝n＝，得an＝n×2n，∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2(n∈N*).3.设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*).(1)求证：{Sn－3n}是等比数列；(2)若{an}为递增数列，求a1的取值范围.(1)证明 an＋1＝Sn＋3n，∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n). a1≠3，∴数列{Sn－3n}是首项为a1－3，公比为2的等比数列.(2)解由(1)得，Sn－3n＝(a1－3)×2n－1.∴Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1. {an}为递增数列，∴当n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴当n≥2时，2n－2>0，∴a1>－9. a2＝a1＋3>a1，∴a1的取值范围是(－9，＋∞).考点二数列的通项与求和方法技巧(1)根据数列的递推关系求通项的常用方法①累加(乘)法形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法；形如＝f(n)的数列，可用累乘法.②构造数列法形如an＋1＝，可转化为－＝，构造等差数列；形如an＋1＝pan＋q(p×q≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p构造等比数列.(2)数列求和的常用方法①倒序相加法；②分组求和法；③错位相减法；④裂项相消法.4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2Sn＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n＝1时，a1＝2S1＋1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，由an＝2Sn＋1，得an－1＝2Sn－1＋1，两式相减得an－an－1＝2an，化简得an＝－an－1，所以数列{an}是首项为－1，公比为－1的等比数列，则可得an＝(－1)n.(2)由(1)得bn＝(2n－1)·(－1)n，当n为偶数时，Tn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－(2n－3)＋(2n－1)＝2×＝n，当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)－(2n＋1)＝－n.所以数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)n·n.5.已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，求Sn.解(1)bn＋1＝＝＝.a1＝，b1＝，因为bn＋1－1＝－1＝，所以＝＝－1＋，所以数列是以－4为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－4－(n－1)＝－n－3，所以bn＝1－＝.(2)因为an＝1－bn＝，所以Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.6.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知，当n≥...
