第20练圆锥曲线的定义、方程与性质[明晰考情]1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2－＝1B.x2－＝1C.y2－＝1(y≤－1)D.x2－＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)，故选C.2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.－y2＝1B.x2－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析依题意得＝，①又a2＋b2＝c2＝5，②联立①②得a＝2，b＝1.∴所求双曲线的方程为－y2＝1.3.已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________.答案解析由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.4.已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为________.答案3解析由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合.过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.(2018·全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.y＝±xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x答案A解析双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又 离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0).∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.12PFFS故选A.6.(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A.1－B.2－C.D.－1答案D解析在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.7.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.答案y＝±x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝.又 |AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴＝p，即＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.8.已知A是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若GA＝λPF1，则双曲线的离心率为________.答案3解析因为GA＝λPF1，所以GA∥PF1，所以＝＝(O为坐标原点)，即＝，所以e＝＝3.考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法.(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明.9.已知方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－2，＋∞)C.∪(－1，＋∞)D.∪答案D解析由－＝1转化成标准方程为＋＝1，假设焦点在x轴上，则2＋m＞－(m＋1)＞0，解得－＜m＜－1；假设焦点在y轴上，则－(m＋1)＞2＋m＞0，解得－2＜m＜－.综上可知，m的取...
