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高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测(四十六)曲线与方程 理-人教版高三数学试题VIP免费

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课时达标检测(四十六)曲线与方程[——小题常考题点准解快解]1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析:选D原方程可化为或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.2.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若MN2=λAN·NB,当λ<0时,动点M的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:选C设M(x,y),则N(x,0),所以MN2=y2,λAN·NB=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,变形为x2+=1.又因为λ<0,所以动点M的轨迹为双曲线.3.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1OA+λ2OB(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析:选A设C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3). OC=λ1OA+λ2OB,∴又λ1+λ2=1,∴x+2y-5=0,表示一条直线.4.(2018·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x>0,y>0)B.x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-y2=1(x>0,y>0)D.3x2+y2=1(x>0,y>0)解析:选A设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由BP=2PA,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由OQ·AB=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=x,b=3y代入ax+by=1,得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).5.(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为________________.解析:设A(x,y),由题意可知D.又 |CD|=3,∴2+2=9,即(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点不共线,∴点A不能落在x轴上,即y≠0,∴点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)6.设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________________.解析:由题意,延长F1D,F2A并交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.答案:x2+y2=4[——大题常考题点稳解全解]1.已知长为1+的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且AP=PB,求点P的轨迹C的方程.解:设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y),因为AP=PB,所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即x+y=(1+)2,所以2+[(1+)y]2=(1+)2,化简得+y2=1.所以点P的轨迹方程为+y2=1.2.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值;(2)求点E的轨迹方程,并求它的离心率.解:(1)证明:因为|AD|=|AC|,EB∥AC,所以∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2)由圆A方程(x+1)2+y2=16,知A(-1,0).又B(1,0),因此|AB|=2,则|EA|+|EB|=4>|AB|.由椭圆定义,知点E的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点),所以a=2,c=1,则b2=a2-c3=3.所以点E的轨迹方程为+=1(y≠0).故曲线方程的离心率e==.3.如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是点D,点M满足DM=DP.(1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.解:(1)设M(x,y),则D(x,0),由DM=DP知P(x,2y), 点P在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为+y2=1,轨迹C为椭圆.(2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在且不为零,设l:y=k(x-3...

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