课时达标检测（四十六）曲线与方程[——小题常考题点准解快解]1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线解析：选D原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若MN2＝λAN·NB，当λ＜0时，动点M的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选C设M(x，y)，则N(x,0)，所以MN2＝y2，λAN·NB＝λ(x＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1.又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：选A设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)． OC＝λ1OA＋λ2OB，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．4．(2018·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．5．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．解析：设A(x，y)，由题意可知D.又 |CD|＝3，∴2＋2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)6．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝4[——大题常考题点稳解全解]1．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP＝PB，求点P的轨迹C的方程．解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，则AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)，因为AP＝PB，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y.因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.所以点P的轨迹方程为＋y2＝1.2．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c3＝3.所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e＝＝.3.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是点D，点M满足DM＝DP.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由DM＝DP知P(x,2y)， 点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，轨迹C为椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在且不为零，设l：y＝k(x－3...
