课时达标检测（四十三）椭圆[——小题对点练点点落实]对点练(一)椭圆的定义和标准方程1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.2．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4B．8C．12D．16解析：选B设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.3．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为()A．3B．6C．9D．12解析：选B因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，则b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.4.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选B设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.5．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________．解析：M(，0)与F(－，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆的左焦点F(－，0)，且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝(|AF|＋|AM|)＋(|BF|＋|BM|)＝4a＝8.答案：86．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1>a＋3>0，解得－3
b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B由题意知|OA|＝|AP|＝b，|OP|＝a，OA⊥AP，所以2b2＝a2，即＝，故e＝＝，故选B.2．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，EF1·EF2的最大值、最小值分别为()A．9,7B．8,7C．9,8D．17,8解析：选B由题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7；当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8.故选B.3．焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选C短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S＝×2c×b＝×(2a＋2c)×，整理得a＝2c，即e＝＝.故选C.4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d≥＝，所以1≤b＜2，而e＝＝＝，所以0＜e≤.5．已知椭圆＋＝1(0b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x...
