分层限时跟踪练(十九)(限时40分钟)一、选择题1．(2015·重庆高考)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()A.B.C.D.【解析】tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.【答案】A2．(2015·唐山模拟)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－B.C．－或0D.或0【解析】由2sin2α＝1＋cos2α，得4sinαcosα＝2cos2α，所以cosα＝0或tanα＝.若cosα＝0，则tan2α＝0；若tanα＝，则tan2α＝＝＝.【答案】D3．若cos－sinα＝，则cos＝()A.B.C.D.【解析】cos－sinα＝，cosα－sinα＝，cosα－sinα＝cos＝.【答案】B4.＝()A．－B.C．－1D．1【解析】＝＝1.【答案】D5．(2015·贵阳模拟)已知sin＝，则cos的值是()A.B.C．－D．－【解析】∵sin＝cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.【答案】D二、填空题6．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C＝.【解析】∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－，∴tanC＝－tan(A＋B)＝，∴C＝60°.【答案】60°7．若sin＝，sin(α－β)＝，则的值为．【解析】由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得∴∴＝＝5.【答案】58．(2015·杭州模拟)已知sinα，cosα是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，则＋＝.【解析】由题意可知，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝a2，即a2－2a－1＝0，解得a＝1±.又sinα＋cosα＝a≤，故a＝1－.∴＋＝＋＝－－＝－＝－＝＋1.【答案】＋1三、解答题9．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．【解】(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－＝－.(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－.10．已知，0＜α＜＜β＜π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．【解】(1)∵cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.(2)∵0＜α＜＜β＜π，∴＜β－＜π，＜α＋β＜，∴sin＞0，cos(α＋β)＜0.∵cos＝，sin(α＋β)＝.∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.1．(2015·重庆高考)若tanα＝2tan，则＝()A．1B．2C．3D．4【解析】∵cos＝cos＝sin，∴原式＝＝＝.又∵tanα＝2tan，∴原式＝＝3.【答案】C2．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为()A.B.C．±D．±【解析】由θ为第二象限角，可知为第一或第三象限角．由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，∴cosθ＝－.∴2cos2＝cosθ＋1＝.∴cos＝±.【答案】C3．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝.【解析】∵cos4α－sin4α＝cos2α－sin2α＝cos2α＝.又α∈，∴2α∈(0，π)．∴sin2α＝.∴cos＝cos2αcos－sin2αsin＝cos2α－sin2α＝×－×＝.【答案】图3314．(2015·江西八校联考)如图331，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sincos－的值为．【解析】由题意得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴sin∠AOB＝sin＝，∴cos2－sin·cos－＝·－－＝－sinα＋cosα＝sin＝sin＝sin＝.【答案】5．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.【解】(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin.所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.6．已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．【解】(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝，由解得sinα＝.(2)由(1)知cosα＝＝＝，又0＜α＜＜β＜π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝，∴sin(β－α)＝＝＝，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝.又β∈，∴β＝.
