高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 分层限时跟踪练23-人教版高三数学试题VIP免费

分层限时跟踪练(二十三)(限时40分钟)一、选择题图37121．如图3712，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°【解析】由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.【答案】D2．如图3713所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图3713A.B.C.D.【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.故选A.【答案】A3．如图3714，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()图3714A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.【答案】B4．(2015·丹东模拟)如图3715所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()图3715A.B．2－C.－1D.【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)．在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.【答案】C5．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.分钟B.小时C．21.5分钟D．2.15小时【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t. ∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．【答案】A二、填空题6．为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图3716所示，且∠B＋∠D＝180°，则AC的长为km.图3716【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cosD，由cosD＝－cosB并消去AC2得cosB＝，所以AC＝7.【答案】77．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为m.图3717【解析】过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)．【答案】500(＋1)8．如图3718，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为m．(取＝1.4，＝1.7)图3718【解析】如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，＝，∴BC＝×sin15°＝10500(－)． CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．【答案】2650三、解答题9．(2015·石家庄模拟)如图3719所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度...