跟踪演练(一)(建议用时：40分)1．如图17，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值．图17【解】如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.因为点E是BD的中点，所以在△BDM中，BF＝FM.又点D是AC的中点，所以在△CAF中，CM＝MF，所以＝＝.2．(2015·江苏高考)如图18，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.图18求证：△ABD∽△AEB.【证明】因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E.又∠BAE为公共角，所以△ABD∽△AEB.3．如图19所示，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.图19【证明】∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴＝，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.1．如图110，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.图110(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．【解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA，∴∠BFA＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.(2)∵∠BAE＝30°，∴AEB＝60°，∴＝sin60°，由(1)知＝，∴BF＝·AD＝.2．如图111，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动．图111(1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD；(2)请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？【解】过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G，H.(1)证明：因为＝，所以＝.又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH.又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝(BC－HC)＋AD，所以EF＝BC＋AD，即3EF＝BC＋2AD.(2)因为＝，所以＝.又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.所以EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD，所以EF＝BC＋AD，即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
