跟踪演练（二）(建议用时：40分)1．(2015·邢台四模)如图26，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD.图26(1)求证：直线CE是⊙O的切线；(2)求证：AC2＝AB·AD.【证明】(1)连接OC，如图所示：因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC.又因为AD⊥CE，所以∠ACD＋∠CAD＝90°，又因为AC平分∠BAD，所以∠OAC＝∠CAD，所以∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线．(2)连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA＝∠ADC＝90°，因为CE是⊙O的切线，所以∠B＝∠ACD，所以△ABC∽△ACD，所以＝，即AC2＝AB·AD.2．(2015·唐山一模)如图27，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.图27(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且＝，求∠BAC.【解】(1)因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为＝，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰三角形ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，所以∠BAC＝2x＝.1．(2015·郑州二模)如图28，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延长线与⊙O的切线DE交于点E.图28(1)求证：＝；(2)若BD＝3，EC＝2，CA＝6，求BF的值．【解】(1)证明：连接CD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，又∵DE与⊙O相切于D，∴∠CDE＝∠EAD＝∠BAD，∵∠DCE是⊙O的内接四边形ABDC的外角，∴∠DCE＝∠ABD，∴△DCE∽△ABD，∴＝.(2)∵AD是∠BAC的平分线，∴＝，∴BD＝CD＝3，∠CBD＝∠BCD，∵DE与⊙O相切于D，EC＝2，CA＝6，∴DE2＝EC·EA＝EC·(EC＋CA)＝16，∠CDE＝∠CBD，∴DE＝4，∠CDE＝∠BCD，∴DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB，∴△DCE∽△BFD，∴＝，∴BF＝＝.2．(2015·全国卷Ⅱ)如图29，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．【解】(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.所以四边形EBCF的面积为×2×－×(2)2×＝.
