跟踪演练（三）(建议用时：40分)1．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系求曲线C1和C2交点的直角坐标．【解】因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，所以曲线C1的普通方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线C2的普通方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．2．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ(a是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为，求a的值．【解】(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ.所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay.即x2＋(y－a)2＝a2.(2)⊙O1与⊙O2的圆心距为＝，解得a＝±2.1．(2015·湖南高考)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．【解】(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)将(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为，点Q为线段PM的中点．(1)求点Q的轨迹C1的方程；(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．【解】(1)由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，∴⊙C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，又点M的极坐标为，则直角坐标为(0,4)．设点P(x0，y0)，点Q(x，y)，则有x＋(y0－1)2＝1.(*)∵点Q为线段PM的中点，∴代入(*)得轨迹C1的方程为x2＋2＝.(2)∵⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1，而轨迹C1是圆心为，半径为的圆，∴两圆的圆心距为，等于两圆半径和，∴两圆外切．
