跟踪演练(四)(建议用时：40分)1．(2015·太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足OP＝2OM.(1)求曲线C2的普通方程；(2)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.【解】(1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵OP＝2OM，∴，∵点M在曲线C1上，∴，∴(x′－1)2＋y′2＝3，∴曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0，将θ＝代入得ρ＝2，∴A的极坐标为.曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－8＝0，将θ＝代入得ρ＝4，∴B的极坐标为.∴|AB|＝4－2＝2.2．(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【解】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.1．(2015·石家庄一模)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程；(2)已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|＋|PN|的最大值．【解】(1)由参数方程和极坐标的基本性质，可得曲线C1的普通方程为＋＝1.曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)法一：由曲线C2：x2＋y2＝4，可得其参数方程为(α为参数)，设P点坐标为(2cosα，2sinα)，又由题意可知M(0，)，N(0，－)，因此|PM|＋|PN|＝＋＝＋，所以(|PM|＋|PN|)2＝14＋2.所以当sinα＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28.因此|PM|＋|PN|的最大值为2.法二：设P点坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4，又由题意可知M(0，)，N(0，－)，因此|PM|＋|PN|＝＋＝＋，所以(|PM|＋|PN|)2＝14＋2.所以当y＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28.因此|PM|＋|PN|的最大值为2.2．(2015·郑州质检)在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin＝t.(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【解】(1)由x＝cosα＋sinα，得x2＝(cosα＋sinα)2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1，又由y＝2sinαcosα－2sin2α＋2得2sinαcosα＝y＋2sin2α－2，所以曲线M的普通方程为x2＝y＋1，即y＝x2－1，又易知x∈[－2,2]，∴曲线M的普通方程为y＝x2－1，x∈[－2,2]．由ρsin＝t，得ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N的直角坐标方程为x＋y＝t.(2)当直线N过点(2,3)时，与曲线M有公共点，此时t＝5，从该位置向左下方平行移动直到与曲线M相切总有公共点，联立得x2＋x－1－t＝0，Δ＝1＋4(1＋t)，令1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.∴所求t≤的取值范围是－t≤5.
