大题专项练(五)函数与导数A组基础通关1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x2-2x+2)ex-12ax2(a∈R).(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当a≤-2时,f(x)≥2.(1)解当a=e时,f(x)=(x2-2x+2)ex-12ex2,所以f'(x)=x2ex-ex=x(xex-e),讨论:①当x<0时,xex-e<0,有f'(x)>0;②当01时,由函数y=xex为增函数,有xex-e>0,有f'(x)>0.综上,函数f(x)的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).(2)证明当a≤-2时,有-12a≥1,所以-12ax2≥x2,所以f(x)≥(x2-2x+2)ex+x2.令g(x)=(x2-2x+2)ex+x2,则g'(x)=x2ex+2x=x(xex+2).令h(x)=xex+2,有h'(x)=(x+1)ex.令h'(x)=0,得x=-1.分析知,函数h(x)的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h(x)min=h(-1)=2-1e>0.所以分析知,函数g(x)的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0),所以g(x)min=g(0)=(02-2×0+2)×e0+02=2,故当a≤-2时,f(x)≥2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.解(1)由题意,得下潜用时60v(单位时间),用氧量为v103+1×60v=3v250+60v(升);水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);返回水面用时60v2=120v(单位时间),用氧量为120v×1.5=180v(升),∴总用氧量y=3v250+240v+9(v>0).(2)y'=3v25−240v2=3(v3-2000)25v2,令y'=0,得v=103√2,当0103√2时,y'>0,函数单调递增,∴当0e+2-1e.(1)解由定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=1x−a(x-1)2=x2-(a+2)x+1x(x-1)2,设h(x)=x2-(a+2)x+1,要使y=f(x)在(e,+∞)上有极值,则x2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又 x1·x2=1,∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x2>e,∴0e+1e-2,②联立①②可得a>e+1e-2.即实数a的取值范围是e+1e-2,+∞.(2)证明由(1)知,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上有最小值f(x2),即∀t∈(1,+∞),都有f(t)≥f(x2),又当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在(0,1)上有最大值f(x1),即对∀s∈(0,1),都有f(s)≤f(x1),又 x1+x2=2+a,x1x2=1,x1∈0,1e,x2∈(e,+∞),∴f(t)-f(s)≥f(x2)-f(x1)=lnx2+ax2-1-lnx1-ax1-1=lnx2x1+ax2-1−ax1-1=lnx22+x2-1x2(x2>e),设k(x)=lnx2+x-1x=2lnx+x-1x(x>e),则k'(x)=2x+1+1x2>0(x>e),∴k(x)在(e,+∞)上单调递增,∴k(x)>k(e)=2+e-1e,∴f(t)-f(s)>e+2-1e.4.(2019河南商丘模拟)已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x(a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f(x)的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,有f(x1)+f(x2)<2fx1+x22.(1)解函数f(x)的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f(0)=-a<0.又 直线y=-x恰好通过原点,∴函数y=f(x)的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f(x)<-x,即(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x<-x. 2x+1>0,∴a>ln(2x+1)2x+1.令h(x)=ln(2x+1)2x+1x>-12,则h'(x)=2-2ln(2x+1)(2x+1)2x>-12.∴当x∈-12,e-12时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈e-12,+∞时,h'(x)<0,h(x)单调递减....
