第27练导数的综合应用[明晰考情]1.命题角度：函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.2.题目难度：偏难题.考点一利用导数研究函数的零点(方程的根)方法技巧求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路(1)转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题.(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象.(3)结合图象求解.1.设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. f(0)＝c，f′(0)＝b，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－.当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的变化情况如下：x(－∞，－2)－2－f′(x)＋0－0＋f(x)↗c↘c－↗∴当c>0且c－<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.2.(2018·东莞模拟)已知函数f(x)＝ex－2x－1.(1)求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(2)设g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围.解(1)由题意知f′(x)＝ex－2，k＝f′(0)＝1－2＝－1，又f(0)＝e0－2×0－1＝0，∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.(2)g(x)＝ex－2ax－a，g′(x)＝ex－2a.当a≤0时，g′(x)>0，∴g(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)，在(－∞，ln(2a))上，g′(x)<0，在(ln(2a)，＋∞)上，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增，∴g(x)极小值＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－a＝a－2aln(2a). g(x)有两个零点，∴g(x)极小值<0，即a－2aln(2a)<0， a>0，∴ln(2a)>，解得a>，∴实数a的取值范围为.3.(2018·新余模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f′(x)＝ex＋(x－1)ex＋2ax＝x(ex＋2a).①若a≥0，则当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0.故函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.②当a<0时，由f′(x)＝0，解得x＝0或x＝ln(－2a).(ⅰ)若ln(－2a)＝0，即a＝－，则∀x∈R，f′(x)＝x(ex－1)≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；(ⅱ)若ln(－2a)<0，即－
0；当x∈(ln(－2a)，0)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(－∞，ln(－2a))，(0，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，0)上单调递减.(ⅲ)若ln(－2a)>0，即a<－，则当x∈(－∞，0)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，ln(－2a))时，f′(x)<0.故函数f(x)在(－∞，0)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(－2a))上单调递减.(2)①当a>0时，由(1)知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.因为f(0)＝－1<0，f(2)＝e2＋4a>0，取实数b满足b<－2且ba(b－1)＋ab2＝a(b2＋b－1)>a(4－2－1)>0，所以f(x)有两个零点；②若a＝0，则f(x)＝(x－1)ex，故f(x)只有一个零点.③若a<0，由(1)知，当a≥－时，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又当x≤0时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；当a<－时，则f(x)在(－∞，0)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增；在(0，ln(－2a))上单调递减.又f(0)＝－1，故不存在两个零点.综上所述，a的取值范围是(0，＋∞).考点二利用导数证明不等式问题方法技巧利用导数证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)>0.其中找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口.4.设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<0)，得f′(x)＝－1.令f′...
