规范解答集训(一)三角函数和解三角形(建议用时：40分钟)1．(2019·昆明模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA－bcosC＝ccosB.(1)求角A；(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解](1)∵2acosA－bcosC＝ccosB，∴2sinAcosA－sinBcosC＝sinCcosB.∴2sinAcosA＝sinA，∵0＜A＜π，sinA≠0，可得cosA＝.∴A＝.(2)由题意及(1)得，sinA＝，S＝bcsinA＝，∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3.2．(2019·郑州三模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，AD为△ABC的内角平分线，AD＝2.(1)求的值；(2)求角A的大小．[解](1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，在△ACD中，由正弦定理得：＝，因为sin∠ADB＝sin∠ADC，AC＝，AB＝2，∴＝＝2.(2)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos＝16－8cos.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos＝7－4cos.又＝4＝，解得cos＝.又∈，∴＝，A＝.3.如图，在平面四边形中，AB＝14，cosA＝，cos∠ABD＝.(1)求对角线BD的长；(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形，求△BCD面积的最大值．[解](1)在△ABD中，sin∠ADB＝sin[π－(A＋∠ABD)]＝sin(A＋∠ABD)＝sinAcos∠ABD＋cosAsin∠ABD＝，由正弦定理得＝，即BD＝＝13.(2)由已知得，C＝π－A，所以cosC＝－，在△BCD中，由余弦定理可得BC2＋DC2－2BC·DCcosC＝BD2＝169，则169＝BC2＋DC2＋·BC·DC≥·BC·DC，即BC·DC≤×169，所以S△BCD＝·BC·CD·sinC≤××＝，当且仅当BC＝DC＝时取等号．所以△BCD面积的最大值为.4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab.(1)求角C的值；(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．[解](1)由题意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可知，cosC＝＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)由正弦定理可知，＝＝＝，即a＝sinA，b＝sinB，∴a＋b＝(sinA＋sinB)＝＝2sinA＋2cosA＝4sin，又∵△ABC为锐角三角形，∴即＜A＋＜，所以，2＜4sin≤4，综上，a＋b的取值范围为(2，4]．
