4.解析几何1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，∵直线l与椭圆交于两点，∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0.设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴k2＝·＝，整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，∴＋m2＝0，又m≠0，∴k2＝，结合图象(图略)可知k＝－，故直线l的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，直线y＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4.(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值.解(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故y′|x＝2＝.所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B点的切线方程为2x＋y＋2＝0.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝6y与y＝kx＋m联立，得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0，所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，故|MN|＝·＝2··.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2··，由Δ＝36k2＋24m>0，得－0，得1b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”.若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值.(1)解由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，得＋＝1，解得yP＝±.又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，即a2－2c2－ac＝0，所以2e2＋e－1＝0，由0b>0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围.解(1)因为BF1⊥x轴，得到点B，所以解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)因为＝＝＝λ，所以＝(λ>2)，所以PM＝－PN.由(1)可知P(0，－1)，设MN方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0，Δ>0恒成立，即得(*)又PM＝(x1，y1＋1)，PN＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，将x1＝－x2代入(*)可得，＝.因为k>，所以＝∈(1,4)，则1<2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2).
