6.函数与导数1.已知函数f(x)＝＋lnx.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求证：f(x)>0.(1)解f(x)＝＋lnx的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，所以f′(1)＝－，又f(1)＝1，则切线方程为x＋2y－3＝0.(2)证明令h(x)＝x3＋2x2－3x－2，则h′(x)＝3x2＋4x－3，设h′(x)＝0的两根为x1，x2，由于x1x2＝－1<0，不妨设x1<0，x2>0，则h(x)在(0，x2)上是单调递减的，在(x2，＋∞)上是单调递增的.而h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈(1,2)，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.所以f(x)≥f(x0)＝＋lnx0，因为x0∈(1,2)，lnx0>0，f(x)>>0，所以f(x)>0.2.已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.解(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx，x>0，则g′(x)＝＋2ax＋b，由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得，g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.(2)由(1)得g′(x)＝＝.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－，由g′>0得0
1；若0<<1，即a>时，由g′>0得x>1或01，即00得x>或0时，函数g在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增.3.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝lnx＋1，所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)↘极小值(最小值)↗当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt，当00，则h′(x)＝1＋－＝.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)↘极小值(最小值)↗因为h＝＋3e－2，h(e)＝＋e＋2，h(1)＝4，所以h(e)－h＝4－2e＋<0，所以h(e)0，f(x)在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝－－a＋aln＝a.因为2，所以f(e)<0，所以a≥2e，综上，a≥－1.
