课时跟踪检测（七）1．(2018届高三·广西三市联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，则bn＋1－bn＝－＝，又b1＝log4a1＋1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，∴Tn＝nb1＋d＝.2．(2017·福州质检)已知等差数列{an}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3＋1.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋a9…＋＋a3n.解：(1)依题意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.因为a2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，所以an＝2n－1.(2)a1＋a3＋a9…＋＋a3n＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)…＋＋(2×3n－1)＝2×(1＋3＋32…＋＋3n)－(n＋1)＝2×－(n＋1)＝3n＋1－n－2.3．(2017·济南模拟)已知数列{an}满足a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)．(1)求证：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝|log2(an＋1)|，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：当n≥2时，由4an＝an－1－3得an＋1＝(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以512为首项，为公比的等比数列．所以an＋1＝512×n－1＝211－2n，an＝211－2n－1.(2)bn＝|11－2n|，设数列{11－2n}的前n项和为Tn，则Tn＝10n－n2.当n≤5时，Sn＝Tn＝10n－n2；当n≥6时，Sn＝2S5－Tn＝n2－10n＋50.所以Sn＝4．(2018届高三·广东五校联考)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)∵Sn＝2an－a1，①∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1；②①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.由a1，a2＋1，a3成等差数列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＝2n.(2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.∴bn＝＝＝.∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝＝.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.解：(1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，当n＝1时，a1＋S1＝1，∴a1＝，a1－1＝－，又cn＝an－1，∴{cn}是首项为－，公比为的等比数列．(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝n，Tn＝＝1－n.
