课时跟踪检测（十）1．(2018届高三·西安八校联考)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC，垂足为M.EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.(1)证明：BF⊥EM；(2)求平面BEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明： EA⊥平面ABC，∴BM⊥EA，又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE，∴BM⊥EM.①在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝30°，∴AB＝2，BC＝2，又BM⊥AC，则AM＝3，BM＝，CM＝1. FM＝＝，EM＝＝3，EF＝＝2，∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM.②又FM∩BM＝M，③∴由①②③得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF.(2)如图，以A为坐标原点，过点A垂直于AC的直线为x轴，AC，AE所在的直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系．由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，∴BE＝(－，－3,3)，BF＝(－，1,1)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝，得y＝1，z＝2，∴平面BEF的一个法向量为n＝(，1,2)．因为EA⊥平面ABC，所以取平面ABC的一个法向量为AE＝(0,0,3)．设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈n，AE〉|＝＝.故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.2．(2017·云南调研)如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．(1)求证：BC∥平面PAE；(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．解：(1)证明： AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠BCA＝60°.在△ACD中， AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，∴由余弦定理可得：AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，∴△ACD是直角三角形．又E为CD的中点，∴AE＝CD＝CE＝2，又∠ACD＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE.又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，∴BC∥平面PAE.(2)由(1)可知∠BAE＝90°，以点A为原点，以AB，AE，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(－，3,0)，∴PB＝(，0，－2)，PC＝(，1，－2)，PD＝(－，3，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x＝1，则y＝0，z＝，n＝，∴cos〈n，PD〉＝＝＝－，∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值为.3．(2017·武昌调研)如图，在四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．解：(1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)．设S(x，y，z)，显然x>0，y>0，z>0，则AS＝(x－2，y－2，z)，BS＝(x，y－2，z)，DS＝(x－1，y，z)．由|AS|＝|BS|，得＝，解得x＝1.由|DS|＝1，得y2＋z2＝1.①由|BS|＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0.②由①②，解得y＝，z＝.∴S，AS＝，BS＝，DS＝，∴DS·AS＝0，DS·BS＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，∴SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n⊥BS，n⊥CB，∴n·BS＝0，n·CB＝0.又BS＝，CB＝(0,2,0)，∴取z1＝2，得n＝(－，0,2)． AB＝(－2,0,0)，∴cos〈AB，n〉＝＝＝.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.4．(2017·宝鸡质检)如图①，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E为AD的中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图②所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上．(1)求证：BP⊥CE；(2)求二面角BPCD的余弦值．解：(1)证明： 点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，∴PO⊥平面BCDE，∴PO⊥CE， CE＝＝，BE＝＝，BE2＋CE2＝4＝BC2，∴BE⊥CE，又PO∩BE＝O，∴CE⊥平面PBE，∴BP⊥CE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于DC的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B，C，D，P，∴CD＝(－1,0,0)，CP＝，PB＝，BC＝(0,2,0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝，可得n1＝，为平面PCD的一个法向量．设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝，可得n2＝(2,0，)，为平面PBC的一个法向量．∴cos〈n1，n2〉＝＝，由图可知二面角BPCD为钝角，故二面角BPCD的余弦值为－.5．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥...
