课时跟踪检测（十）1．(2018届高三·西安八校联考)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，AC⊥BM，且BM交AC于点M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.(1)证明：BF⊥EM；(2)求三棱锥BEFM的体积．解：(1)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM，又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE，∴BM⊥EM.①∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC，∴FM＝＝，又EM＝＝3，EF＝＝2，∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM.②由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF.(2)由(1)知EM⊥平面BMF，∴VBEFM＝VEBMF＝×S△BMF×EM＝××3＝.2．(2017·宝鸡质检)如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，AM＝2.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱锥PMAC的体积．解：(1)证明：由∠PCB＝90°得PC⊥CB.又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC.又PC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N，连接AN，则CN＝PM＝1，又PM∥BC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PC∥MN且PC＝MN，由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos120°＝3，即AN＝.又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1.在平面ABC内，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，则AH⊥平面PMC，因为AC＝CN＝1，∠ACB＝120°，所以∠ANC＝30°.所以在Rt△AHN中，AH＝AN＝，而S△PMC＝×1×1＝，所以VPMAC＝VAPMC＝×S△PMC×AH＝××＝.3．(2017·云南检测)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝2a，E是PA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面PAC；(2)求点E到平面PBC的距离．解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面PAC.(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．在△PCA中，易知O为AC的中点，又E为PA的中点，∴EO∥PC.∵PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，∴EO∥平面PBC.∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离．∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，且两平面的交线为BC.在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H，则OH⊥平面PBC.在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝AC＝a，∴OB＝a.由S△BOC＝OC·OB＝BC·OH，得OH＝＝＝a.∴点E到平面PBC的距离为a.4．(2017·郑州模拟)如图，已知四棱锥SABCD，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2CD＝2，M是SD上任意一点，SM＝mMD，且m>0.(1)求证：平面SAB⊥平面MAC；(2)试确定m的值，使三棱锥SABC的体积为三棱锥SMAC体积的3倍．解：(1)证明：在△ABC中，由于AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC.(2)VSMAC＝VMSAC＝VDSAC＝VSACD，∴＝·＝·＝·2＝3，∴m＝2，即当m＝2时，三棱锥SABC的体积为三棱锥SMAC体积的3倍．5．(2017·石家庄质检)如图，在三棱柱ABCDEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，BC＝.点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝，点M在线段CF上，且CM＝CF.(1)证明：直线GM∥平面DEF；(2)求三棱锥MDEF的体积．解：(1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE，又BC＝＝EF，FG＝，∴GE＝.∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，∴AE＝2，∴AG＝.如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH.则＝，∴GH＝，由CM＝CF得MF＝＝GH.∵GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形，∴GM∥FH.又GM⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴GM∥平面DEF.(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VMDEF＝VGDEF.又VGDEF＝VFDEG＝FG·S△DEG＝FG·S△DAE＝，∴VMDEF＝.
