课时跟踪检测（十八）1.(2017·洛阳统考)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D， B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝.法二：连接OD，AB(图略)，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴△OFD∽△AFB.∴＝＝，即＝，解得a＝3c，从而e＝.(2)证明： F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.∴椭圆E的方程为＋＝1.设直线l的方程为x＝ny＋1，由消去x得，(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P，同理Q，从而FP·FQ＝·＝64＋＝64＋＝64＋＝0.∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.2．(2017·长沙模拟)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.证明：(1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故|EM|＝|EB|.从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝＝＝＝＝＝4.所以|EA|＋|EB|为定值4.(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，故E，F均在椭圆＋＝1上．设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．令x＝4，求得y＝，即Q点的纵坐标yQ＝.由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)．即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，知上式成立．所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.3．(2018届高三·广东五校联考)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且AC＝2CB，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．解：(1)由题意知，c＋＝3，所以b＝c，a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以e＝＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，因为AC＝2CB，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即2y2＋y1＝0，①由(1)知，a2＝2b2，所以椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.由消去x，得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0，所以y1＋y2＝，②由①②知，y2＝－，y1＝，因为S△AOB＝×|OC|×＝|y1|＋|y2|，所以S△AOB＝3·＝3·≤·＝，当且仅当|k|2＝2，即k＝±时取等号，此时直线l的方程为x＝y－1或x＝－y－1.4．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－
