课时跟踪检测（十九）1．(2017·石家庄质检)设M，N，T是椭圆＋＝1上的三个点，M，N在直线x＝8上的射影分别为M1，N1.(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝＝，又故＋＝0，即＝－，所以k1k2＝－，为定值．(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，S△MNL＝|r－3|·|yM－yN|，S△M1N1L＝·5·|yM1－yN1|.因为S△M1N1L＝5S△MNL，所以·5·|yM1－yN1|＝5·|r－3|·|yM－yN|，又|yM1－yN1|＝|yM－yN|，解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)；②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则消去y得，(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0.x1＋x2＝，x1x2＝.x0＝，y0＝.消去k，整理得(x0－1)2＋＝1(y1≠0)．经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋＝1.综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋＝1(x>0)．2.(2018届高三·湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)在C2的方程中，令y＝0，可得x＝±1，所以A(－1,0)，B(1,0)．又A，B两点是上半椭圆C1的左、右顶点，所以b＝1.设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1可得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)．代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.设点P的坐标为(xP，yP)，又直线l经过点B(1,0)，∴xP＋1＝，xP·1＝.从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．依题意可知AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0， k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．3.(2017·张掖模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(PF＋PE)·EF＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．解：(1)设P，F(c,0)，E(a,0)，则PF＝，PE＝，EF＝(c－a,0)，所以(PF＋PE)·EF＝·＝2，即·(c－a)＝2，又e＝＝，所以a＝2，c＝1，b＝，从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知A，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设MN的方程：y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，则kAM＋kAN＝0，即＋＝0，(x2－1)＋(x1－1)＝0，即(2k－1)(2m＋2k－3)＝0，得k＝.故直线MN的斜率为定值.4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点(2，2)，且离心率为，F1，F2是椭圆E的左、右焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)若A，B是椭圆E上关于y轴对称的两点(A，B不是长轴的端点)，点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF1与直线NF2的交点G在定圆上．解：(1)由题意知解得故椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设B(x0，y0)，P(x1，y1)，则A(－x0，y0)．直线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，令x＝0，得y＝，故M.同理可得N.所以F1M＝，F2N＝，所以F1M·F2N＝·＝－8＋＝－8＋＝－8＋8＝0，所以F1M⊥F2N，所以直线MF1与直线NF2的交点G在以F1F2为直径的圆上．5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否恒过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，...
