课时跟踪检测（十九）一、选择题1．若过点P(2,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于两点A，B，且∠ACB＝60°(其中C为圆心)，则直线l的方程是()A．4x－3y－5＝0B．x＝2或4x－3y－5＝0C．4x－3y＋5＝0D．x＝2或4x－3y＋5＝0解析：选B由题意可得，圆C的圆心为C(－1,2)，半径为2，因为∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，边长为2，所以圆心C到直线l的距离为3.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，与圆相交，且圆心C到直线l的距离为3，满足条件；若直线l的斜率存在，设l：y－1＝k(x－2)，则圆心C到直线l的距离d＝＝3，解得k＝，所以此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.2．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋x＋y－＝0，其圆心坐标为，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为()A．4x＋y－1＝0B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝1，y1＋y2＝－2，＝－，则＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是()A．(－1,2)或(－1，－2)B．(1,2)或(1，－2)C．(1,2)D．(1，－2)解析：选B设抛物线M的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－.曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，由题意知圆心E到准线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y2＝4x，F(1,0)．设A，则OA＝，AF＝，所以OA·AF＝－y＝－4，解得y0＝±2，所以x0＝1，所以点A的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB|＝2，OC＝OA－OB.若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为()A．3B．2C．2D．－3解析：选A由条件易知△OAB为正三角形，OA·OB＝|OA|·|OB|·cos＝2.又由M为AB的中点，知OM＝(OA＋OB)，所以OC·OM＝·(OA＋OB)＝＝3.6．(2017·武昌调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF与FB反向，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选C由题可知，双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tanα＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝， |OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d， OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝m，∴－tan2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.二、填空题7．设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．解析：由题意知，圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆心C(4,0)，半径为1.由题意知P，Q间的最小距离为圆心C(4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝r2，与y2＝4x联立，消去y整理得，x2－4x＋16－r2＝0，令Δ＝16－4(16－r2)＝0，解得r＝2，所以|PQ|min＝2－1.答案：2－18．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝，所以＝p，即＝，故＝，所以双...
