2.3导数的运算与应用、几何意义高考命题规律1.高考常考考题.多数年份有考查,以“一小”的形式出现.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1导数的运算与几何意义1416161614613137命题角度2导数与函数的单调性12命题角度3导数与函数的极值和最值命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·7)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析 y'=aex+lnx+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.2.(2016山东·10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f'(x)=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x12×3x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.3.(2019全国Ⅰ·13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2018全国Ⅱ·13)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.答案y=2x-2解析 y'=(2lnx)'=2x,∴当x=1时,y'=2.∴切线方程为y=2(x-1),即y=2x-2.5.(2017天津·10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析 f(x)=ax-lnx,∴f'(x)=a-1x,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.6.(2016全国Ⅲ·16)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因为f'(x)=ex-1+1,所以f'(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.7.(2015全国Ⅰ·14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析 f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.8.(2015陕西·15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y'=ex|x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-1xP2=-1,解得xP=1,由y=1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).典题演练提能·刷高分1.(2019重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A.e-12B.2e-12C.e12D.2e12答案B解析依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,则有y'x=x0=2x0,于是有{a=2x0,ax0=2lnx0+1,解得x0=❑√e,a=2x0=2e-12,选B.2.过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.1e,+∞C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C解析y=ex,y'=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-y0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+y0=-x0ex0+ex0=ex0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C.3.(2019山西晋城二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=1-2ln(-x)x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.答案3x+y-4=0解析若x>0,则-x<0,所以f(-x)=1-2lnx-x.又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=1-2lnxx,此时f'(x)=2lnx-3x2,f'(1)=-3,f(1)=1,所以切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.4.已知函数f(x)=f'(π6)cosx+sinx,则f(π6)的值为.答案1解析由题得f'(x)=-f'(π6)sinx+cosx,∴f'(π6)=-f'(π6)sinπ6+...
