2.3导数与积分命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.2.(2016山东·10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A解析当y=sinx时,y'=cosx,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sinx图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=lnx,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.3.(2019全国Ⅰ·13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2019天津·11)曲线y=cosx-x2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析y'=-sinx-12,y'|x=0=k=-12.切线方程为y-1=-12x,即x+2y-2=0.5.(2016全国Ⅱ·16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析对函数y=lnx+2求导,得y'=1x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1x+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以{1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.6.(2015陕西·15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y'=ex|x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-1xP2=-1,解得xP=1,由y=1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).典题演练提能·刷高分1.(2019重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A.e-12B.2e-12C.e12D.2e12答案B解析依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,则有y'x=x0=2x0,于是有{a=2x0,ax0=2lnx0+1,解得x0=❑√e,a=2x0=2e-12,选B.2.曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.113答案B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=x+5x+2,∴f'(x)=-3(x+2)2,∴f'(1)=-13.∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=12×73×7=496.3.过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.1e,+∞C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C解析y=ex,y'=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-y0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+y0=-x0ex0+ex0=ex0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C.4.(2019山东潍坊二模)若函数f(x)=x-alnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=.答案-1解析f'(x)=1-ax,f'(1)=1-ax=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+lnx,则f'(1)的值等于.答案14解析由f(x)=3xf'(2)+lnx,可得f'(x)=3f'(2)+1x,∴f'(2)=3f'(2)+12,解得f'(2)=-14,∴f'(1)=3f'(2)+1=14.6.已知函数f(x)=2lnx和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.答案8❑√55解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x0>0).f'(x)=2x,则f'(x0)=2x0=2,解得x=1.∴P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=|2×1-0+6|❑√22+(-1)2=8❑√55.即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值高考真题体验·对方向1.(2017浙江·7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(...
