5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验·对方向1.(2019浙江·8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=PFPB=EGPB=DHPBβ,因为tanγ=PDED>PDBD=tanβ,所以γ>β.故选B.2.(2018全国Ⅱ·9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=❑√3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.❑√56C.❑√55D.❑√22答案C解析以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,❑√3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,❑√3).∴⃗AD1=(-1,0,❑√3),⃗DB1=(1,1,❑√3).设异面直线AD1与DB1所成的角为θ.∴cosθ=|⃗AD1·⃗DB1|⃗AD1||⃗DB1||=|22×❑√5|=❑√55.∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为❑√55.3.(2017全国Ⅱ·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.❑√32B.❑√155C.❑√105D.❑√33答案C解析方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=❑√2,AB1=❑√5,则MN=12AB1=❑√52,NP=12BC1=❑√22.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=4+1-2×2×1×(-12)=7,即AC=❑√7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=❑√72.在△MQP中,可知MP=❑√MQ2+PQ2=❑√112.在△PMN中,cos∠PNM=MN2+NP2-PM22·MN·NP=(❑√52)2+(❑√22)2-(❑√112)22×❑√52×❑√22=-❑√105,又异面直线所成角的范围为(0,π2],故所求角的余弦值为❑√105.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为∠BC1D.由题意可知BC1=❑√2,BD=❑√22+12-2×2×1×cos60°=❑√3,C1D=AB1=❑√5.可知BC12+BD2=C1D2,所以cos∠BC1D=❑√2❑√5=❑√105,故选C.4.(2017全国Ⅲ·16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=❑√2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=❑√2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=❑√2,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=❑√2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.典题演练提能·刷高分1.(2019江西上饶一模)在空间四边形ABCD中,若AB=BC=CD=DA,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,则异面直线AC与EF所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如图,取BD的中点O,连接AO,CO, AB=AD,BC=CD,∴AO⊥BD,CO⊥BD.又AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC.取AD的中点M,连接EM,FM, E为AB的中点,F为CD的中点,∴EM∥BD,MF∥AC,∴EM⊥MF,异面直线AC与EF所成的角即为∠EFM. AC=BD,∴MF=EM,∴在Rt△EFM中,∠EFM=45°,即异面直线AC与EF所成的角为45°.2.(2019山西运城二模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为()A.❑√33B.❑√105C.❑√54D.❑√32答案B解析取C1D1的中点E,则平面PQEM是经过点M,P,Q...
