核心素养提升练三十九直接证明与间接证明、数学归纳法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c,且a+b+c=0,求证:
0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.要证0,只需证(2a+b)(a-b)>0,只需证(a-c)(a-b)>0.2.设a=,b=-,c=-,那么a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】选B.由已知,a=,b=,c=,因为+>+>2,所以bx,0lgx>(lgx)2,lgx2>(lgx)2>lg(lgx).4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根.5.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等式“=”的证明过程:“等式两边同时乘以得,左边=·===1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应用了________的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.答案:综合法7.设n∈N*,则-______-(填“>”“<”或“=”).【解析】要比较-与-的大小,即判断(-)-(-)=(+)-(+)的符号,因为(+)2-(+)2=2[-]=2(-)<0,所以-<-.答案:<8.用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是________.【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于三、解答题9.(10分)求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).【证明】①当n=1时,左边=1-=,右边=,所以等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,1-+-+…+-=++…+成立.那么当n=k+1时,1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++=++…++,所以n=k+1时,等式也成立.综上,对于任意n∈N*,等式都成立.【变式备选】1.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.【证明】如图,作AA′、BB′垂直于准线,取AB的中点M,作MM′垂直于准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|,由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,所以|AB|=|AA′|+|BB′|,所以只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|)由梯形的中位线定理知上式是成立的.所以,以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.2.已知数列,,,…,,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.【解析】S1==,S2=+=,S3=+=,S4=+=.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是猜想Sn=,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,左边=S1=,右边===,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即+++…+=,当n=k+1时,+++…++=+===,所以,当n=k+1时猜想也成立.由①②知,猜想对任意n∈N*都成立.(15分钟30分)1.(5分)证明命题“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如下:因为f(x)=ex+,所以f′(x)=ex-,又因为x>0,所以ex>1,0<<1,所以ex->0,即f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.他使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】选A.该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.2.(5分)若a,b,c∈R,且ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c2≥2B.(a+b+c)2≥3C.++≥2D.abc(a+b+c)≤【解析】选B.因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加得2(a...
