备战2019年高考数学大一轮复习-热点聚焦与扩展-专题17-恒成立问题——数形结合法VIP免费

专题17恒成立问题——数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数afx恒成立(maxafx可)或afx恒成立（minafx即可）；②数形结合(yfx图象在ygx上方即可)；③讨论最值min0fx或max0fx恒成立；④讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若xD，均有fxgxfx的图象始终在gx的下方（2）若xD，均有fxgxfx的图象始终在gx的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1．【2019届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9【解析】若对任意的，恒成立，可得：恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：1(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.例2.【2019届一轮训练】已知log12(x＋y＋4)4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.结合二次函数的图象得00{40ff⇒22430{10xxx－＋－⇒13{11xxxx或或即x<－1或x>3.故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)例5.已知不等式21logaxx在1,2x上恒成立，则实数a的取值范围是_________【答案】12a可得：1log22aa，综上可得：12a.【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x）.（3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式logsin2(0,1)axxaa对于任意的0,4x都成立，则实数a的取值范围是___________【答案】,14a4【解析】本题选择数形结合，可先作出sin2yx在0,4x的图象，a扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a，观察图象进一步可得只需4x时，logsin2axx，即logsin21444aa，所以,14a例7.已知函数21fxxmx，若对任意的,1xmm，都有...