第23练高考大题突破练—导数与不等式[基础保分练]1．(2018·张掖模拟)已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与y轴垂直，求y＝f′(x)的最大值；(2)若对任意0≤x1x2＋x＋2
3．(2019·珠海摸底)已知定义域为R的函数f(x)＝有极值点．(1)求实数b的取值范围；(2)若x0为f(x)的极小值点，求证：＋＋…＋(n∈N*)．答案精析基础保分练1．解(1)由f′(x)＝2ax－ex，得f′(1)＝2a－e＝0⇒a＝
令g(x)＝f′(x)＝ex－ex，则g′(x)＝e－ex，可知函数g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max＝f′(1)＝0
(2)由题意可知函数h(x)＝f(x)＋x(2－2ln2)＝ax2＋x(2－2ln2)－ex在[0，＋∞)上单调递减，从而h′(x)＝2ax＋2－2ln2－ex≤0在[0，＋∞)上恒成立，令F(x)＝2ax＋2－2ln2－ex，则F′(x)＝2a－ex，当a≤时，F′(x)≤0，所以函数F(x)在[0，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(0)＝1－2ln2时，令F′(x)＝2a－ex＝0，得x＝ln(2a)，所以函数F(x)在[0，ln(2a))上单调递增，在(ln(2a)，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(ln(2a))＝2aln(2a)＋2－2ln2－2a≤0，即2aln(2a)－2a≤2ln2－2
通过求函数y＝xlnx－x的导数，可知它在[1，＋∞)上单调递增，故0)．当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，得x>，由f′(x)0
令h(x)＝ex－lnx－2，则h′(x)＝ex－，可知函数h′(x)在(0，＋∞)上单调递增
