第55练向量法求解空间角和距离问题[基础保分练]1．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．82．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.B.C．－D．－3．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．14．方向向量为s＝(1,1,1)的直线l经过点A(1,0,0)，则坐标原点O(0,0,0)到该直线的距离是()A.B.C.D.5．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A.B.C.D.6.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为()A.B.C.D.7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a8．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为()A．60°B．70°C．80°D．90°9．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为6,4,4，则其顶点到底面的距离为________．10.如图所示，已知空间四边形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．[能力提升练]1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.2．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.3．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为()A.B.C.D.4．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知∠AOB＝90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA，OB分别成45°，60°角，则以OC为棱的二面角A－OC－B的余弦值为________．6.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是________．答案精析基础保分练1．A2.B3.B4.D5.B6.C7．A[以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且AM＝MC1，则(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，得x＝a，y＝，z＝，即M，所以|MN|＝＝a，故选A.]8．D[不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F.∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°.]9.解析设三棱锥为P－ABC，且PA＝6，PB＝PC＝4，以P为原点建立空间直角坐标系如图，则P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，PA＝(6,0,0)，AB＝(－6,4,0)，AC＝(－6,0,4)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥AB，n⊥AC，所以即y＝z＝x，所以可选平面ABC的一个法向量为n＝(2,3,3)，所以P到平面ABC的距离d＝|PA|·|cos〈PA，n〉|＝＝＝.10．0解析设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|b|＝|c|，〈a，b〉＝〈a，c〉＝，BC＝c－b，∴OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a|·|c|cos－|a|·|b|cos＝0，∴OA⊥BC，∴cos〈OA，BC〉＝0.能力提升练1．B[设A1在底面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，分别以OA，OH，OA1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)．设△ABC的边长为1，则A，B1，∴AB1＝，平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝.]2．C3．B[|OA|＝＝＝，同理|OB|＝，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，∴△OAB的面积S＝×××＝，故选B.]4．B[建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，易得平面APB的一个法向量为n1＝(0,1,0)，平面PCD的一个法向量为n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求二面角的大小是45°.]5．－6.
