(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,3)，B(－2，k)，若向量OA⊥AB，则实数k＝()．A．4B．3C．2D．1解析因为A(1,3)，B(－2，k)，所以AB＝(－3，k－3)，因为OA⊥AB，所以－3＋3k－9＝0，解得k＝4.答案A2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，c＝(1，－2)，若向量λa＋b与c共线，则实数λ的值为()．A．－2B．－C．－1D．－解析由题知λa＋b＝(λ＋2,2λ)，又λa＋b与c共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案C3.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()．A.OHB.OGC.EOD.FO解析以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则OP＝(2，－2)，OQ＝(1,4)，所以OP＋OQ＝(3,2)，而恰好FO＝(3,2)，故OP＋OQ＝FO.答案D4．在平面四边形ABCD中，满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形，又(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A.B．3C.D．7解析S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案A6．在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是()．A．B＞30°B．A＝2BC．c＜bD．S≤b2解析由三角形的面积公式知S＝absinC＝2b·bsinC＝b2sinC，因为0＜sinC≤1，所以b2sinC≤b2，即S≤b2.答案D7．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是()．A．(∞－，0)∪(0∞，＋)B．(∞－，－3)∪(－3∞，＋)C．(∞－，3)∪(3∞，＋)D．[－3,3)解析由题意可知向量a与b≠为基底，所以不共线，，得m≠－3.答案B8．在边长为1的正三角形ABC中，BD＝BA，E是CA的中点，则CD·BE等于()．A．－B．－C．－D．－解析建立如图所示的直角坐标系，则A，B，C，依题意设D(x1,0)，E(x2，y2)， BD＝BA，∴＝(－1,0)，∴x1＝. E是CA的中点，∴x2＝－，y2＝.∴CD·BE＝·＝×＋×＝－.答案A9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则角B等于()．A．90°B．60°C．45°D．30°解析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sinCsinC，因为sin(B＋A)＝sinC，所以sinC＝1，C＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.答案C10．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()．A.B．C．－D．－解析由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，所以absinC－2ab＝a2＋b2－c2，又cosC＝＝＝－1，所以cosC＋1＝，即2cos2＝sincos，所以tan＝2，即tanC＝＝＝－.答案C11．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA＋4OB＋5OC＝0，则△AOC的面积为()．A.B．C.D．解析依题意得，(3OA＋5OC)2＝(－4OB)2,9OA2＋25OC2＋30OA·OC＝16OB2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为|OA||OC|sin∠AOC＝.答案A12．已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是()．A．0B．C.D．1解析 a与b的夹角为60°，且b为单位向量，∴a·b＝，|ta－b|＝＝≥＝.答案C二、填空题13．若向量m＝(1,2)，n＝(x,1)满足m⊥n，则|n|＝__________.解析 m⊥n，∴m·n＝0，即x＋2＝0，∴x＝－2，∴|n|＝＝.答案14．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有＝，则角C的大小为________．解析依题意得acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝，C＝.答案15.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则AE·AF...
