【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习专题整合突破练2理（含最新原创题，含解析）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA)．(1)若m∥n，c＝a，求角A；(2)若m·n＝3bsinB，cosA＝，求cosC的值．解(1) m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理得sinAcosA＝sinCcosC，化简得sin2A＝sin2C. A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝，∴B＝，在Rt△ABC中，tanA＝＝，A＝.(2) m·n＝3bcosB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B. A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sinB，从而sinB＝， cosA＝>0，A∈(0，π)，∴A∈，sinA＝. sinA>sinB，∴a>b，从而A>B，B为锐角，cosB＝.∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.2．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明(1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1，所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.3.“”若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1“”为相似椭圆．(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e＝.设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.因为＝＝，所以a＝2.所以椭圆C2的方程为＋＝1.(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，)．所以kA1P·kA2H＝·＝＝＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．4．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．解(1)S1＝asinθ·acosθ＝a2sin2θ，设正方形边长为x，则BQ＝，RC＝xtanθ，∴＋xtanθ＋x＝a，∴x＝＝，S2＝2＝，(2)当a固定，θ变化时，＝，令sin2θ＝t，则＝(0＜t≤1)，利用单调性求得t＝1时，min＝.5．已知函数f(x)＝alnx－(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(2)由f′(x)＝(x＞0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0∞，＋)．当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜－，所以f(x)的单调增区间为；由f′(x)＜0，得x＞－，所以f(x)的单调减区间为.(3)设g(x)＝alnx－－2x＋3，x∈[1∞，＋)，则g′(x)＝＋－2＝.令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1，h(x)在[1∞，＋)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，所以g′(x)≤0，g(x)在[1∞，＋)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，得x1＝＞1，x2＝＜0，当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，g(x)在[1，x1)上是增函数；当x∈(x1∞，＋)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，...
