阶段回扣练3导数及其应用(时间：120分钟)一、填空题1．(·哈师大附中检测)设函数f(x)＝axlnx(a∈R，a≠0)，若f′(e)＝2，则f(e)的值为________．解析f′(x)＝alnx＋a，故f′(e)＝2a＝2，得a＝1，故f(x)＝xlnx，f(e)＝e.答案e2．(·扬州模拟)曲线y＝x2＋lnx在点(1,1)处的切线方程为________．解析y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.答案3x－y－2＝03．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.解析由f′(x)＝＝＝0，∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.答案34．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：X01g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.答案－5．三次函数f(x)＝mx3－x在(∞∞－，＋)上是减函数，则m的取值范围是________．解析f′(x)＝3mx2－1≤0在(∞∞－，＋)上恒成立，①x＝0时，－1≤0恒成立，即m∈R；②x≠0时，有m≤在R上恒成立， ＞0，∴m≤0，综上m≤0.答案(∞－，0]6．(·无锡模拟)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析 y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则y′，y的变化情况如下表；x(∞－，－1)－1(－1,1)1(1∞，＋)y′＋0－0＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.答案－2或27．(·南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．解析由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数可得a＝0.设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x＋bx0＝3x0－4，又f′(x)＝3x2＋b，所以f′(x0)＝3x＋b＝3，联立解得x0＝，b＝－3.答案－38．(·石家庄模拟)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0∞，＋)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(1∞，＋)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(∞－，4]．答案(∞－，4]9．(·苏州模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，则不等式ex·f(x)＞ex＋1的解集为________．解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex.因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.答案{x|x＞0}10．(·湖北卷改编)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析由题知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象知0
