第8讲函数与方程分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是()．A．0B．1C．2D．4解析 Δ＝b2－4×2×(－3)＝b2＋24>0，∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．答案C2．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()．解析只有零点左、右两侧的函数值异号时，才能用二分法求零点．故选C.答案C3．(·衡水模拟)设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()．A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析设函数f(x)＝x3－x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为R上的单调函数，故选B.答案B4．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()．A．a
0，且f(x)为R上单调递增函数，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)． g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2.由于h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，又h(x)是(0∞，＋)上的单调递增函数，故h(x)的零点c∈，因此a0，∴f(x)与x轴有两个交点，∴函数必有两个零点．答案26．(·辽宁卷改编)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为________．解析由题意，f(x)为偶函数且周期T=2.画出y=g(x)与y=f(x)的图象如图所示，由图可知它们共有6个交点，所以h(x)=g(x)-f(x)在§上的零点个数为6.答案6三、解答题(共25分)7．(12分)判断函数f(x)＝1＋4x＋x2－x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．解 f(－1)＝1－4＋1＋＝－<0，f(1)＝1＋4＋1－＝>0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－22，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．8．(13分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围，若不存在，说明理由．解 Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝92＋＞0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.故a的取值范围是∪(1∞，＋)．分层B级创新能力提升1．(·长春调研)若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为()．A．3B．2C．1D．0解析依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点，故选C.答案C2．(·安阳模拟)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中，函数f(x)不存在零点的是()．A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4]解析f(0)＝4sin1＞0，f(2)＝4sin5－2，由于π＜5＜2π，所以sin5＜0，故f(2)＜0，故函数f(x)在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋1＜0，故函数f(x)在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝∈(2,4)，则f＝4sin－＞0，而f(2)＜0，所以函数在[2,4]上存在零点，故函数在[－4，－2]上不存在零点．答案A3．对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是________．解析若使函数f(x)＝x2＋2ax＋a2无不动点，则方程x2＋2ax＋a2＝x无实数根，即方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0无实数根，所以Δ＝(2a－1)2－4a2<0，解得a>.答案4．(·潍坊模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，且x∈[0,1]时，f(x)＝4x，x∈(1,2)时，f(x)＝，则函数f(x)的零点个数为_____...
