第3讲导数的综合应用分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()．A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解析由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案B2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()．A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案C3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()．A．(∞－，7]B．(∞－，－20]C．(∞－，0]D．[－12,7]解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)． f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.答案B4．(·洛阳模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()．A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0
ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析令f′(x)=3x2-3=0，得x=±1，可得极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，如图，观察得-2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案(-2,2)6．(·泰州调研)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围是________．解析 f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立． －1≤cosx≤1，①当a>0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴00.从而，f(x)在(∞－，0)上单调递减，在(0∞，＋)上单调递增．(2)由已知条件得ex－(a＋1)x≥b.①(i)若a＋1<0，则对任意常数b，当x<0，且x<时，可得ex－(a＋1)x0，设g(x)＝ex－(a＋1)x，则g′(x)＝ex－(a＋1)．当x∈(∞－，ln(a＋1))时，g′(x)<0；当x∈(ln(a＋1)∞，＋)时，g′(x)>0.从而g(x)在(∞－，ln(a＋1))上单调递减，在(ln(a＋1)∞，＋)上单调递增．故g(x)有最小值g(ln(a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．所以f(x)≥x2＋ax＋b等价于b≤a＋1－(a＋1)·ln(a＋1)．②因此(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)．设h(a)＝(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)，则h′(a)＝(a＋1)[1－2ln(a＋1)]．所以h(a)在(－1，－1)上单调递增，在(－1∞，＋)上单调递减，故h(a)在a＝－1处取得最大值．从而h(a)≤，即(a＋1)b≤.当a＝－1，b＝时，②式成立．故f(x)≥x2＋ax＋b.综上得，(a＋1)b的最大值为.8．(13分)(·长春模拟)已知函数f(x)＝＋alnx－2(a>0)．(1)若对于∀x∈(0∞，＋)都有f(x)>2(a－1)成立，试求a的取值范围；(2)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，当a＝1时，函数g(x)在区间[e－1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．解(1)f′(x)＝－...
