第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·湛江模拟)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()．A．(6,3)B．(7,3)C．(2,1)D．(7,2)解析a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．答案B2．(·嘉兴模拟)已知平面内任一点O满足OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)“，则x＋y＝1”“是点P在直线AB”上的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析根据平面向量基本定理知：OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)且x＋y＝1等价于P在直线AB上．答案C3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()．A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.答案D4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．A.B.C．1D．2解析依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．解析AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案6．(·杭州模拟)已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a＝________.解析设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，CB＝(1－x,4－y)， AC＝2CB，∴解得∴C(3,3)．又 C在直线y＝ax上，∴3＝a·3，∴a＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解法一ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，解得k＝λ＝－，∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)． λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．法二由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，此时ka＋b＝＝－(a－3b)．∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．8．(13分)(·盐城模拟)已知a，b是两个不共线的非零向量．(1)设OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，当A，B，C三点共线时，求t的值；(2)如图，若a＝OD，b＝OE，a与b夹角为120°，|a|＝|b|＝1，点P是以O为圆心的圆弧上一动点，设OP＝xOD＋yOE(x，y∈R)，求x＋y的最大值．解(1)由题意，可设AB＝kBC，将AB＝OB－OA＝tb－a，BC＝OC－OB＝a＋b代入上式，得tb－a＝a＋kb，解得k＝－3，t＝.(2)法一以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D(1,0)，E.设∠POD＝α，则P(cosα，sinα)．由OP＝xOD＋yOE，得cosα＝x－y，sinα＝y，所以y＝sinα，x＝cosα＋sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.又0≤α≤，故当α＝时，x＋y的最大值为2.法二设∠POD＝α，由OP·OD＝xOD·OD＋yOE·OD，OP·OE＝xOD·OE＋yOE·OE，可得cosα＝x－y，cos＝－x＋y.于是x＋y＝2＝2sin.又0≤α≤，故当α＝时，x＋y的最大值为2.分层B级创新能力提升1．(·台州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()．A．30°B．60°C．90°D．120°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝＝，又0°
