第3讲平面向量的数量积分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－B.C．2D．6解析由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.答案D2．(·东北三校联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4B．4C．－2D．2解析设a与b的夹角为θ， a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，∴|a|cosθ＝6×＝－4.答案A3．(·陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()．A.B.C．0D．－1解析 a⊥b，∴a·b＝0，即－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.答案C4．(·天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP＝－2，则λ＝()．A.B.C.D．2解析 BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，∴BQ·CP＝－2⇒[(1－λ)AC－AB]·[λAB－AC]＝－2，化简得(1－λ)λAC·AB－(1－λ)AC2－λAB2＋AB·AC＝－2，又因为AC·AB＝0，AC2＝4，AB2＝1，所以解得λ＝.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·湖北卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．解析(1) 2a＋b＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴|2a＋b|＝＝，则与2a＋b同向的单位向量为＝.(2)设所求夹角为θ. 向量b－3a＝(－2,1)，∴cosθ＝＝＝－.答案(1)(2)－6．(·江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则AB＝(，0)，AE＝(，1)，设F(t,2)，则AF＝(t,2)． AB·AF＝t＝，∴t＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.答案三、解答题(共25分)7．(12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝.8．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.分层B级创新能力提升1．(·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是()．A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析设P点坐标为(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，AP·BP有最小值1.∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案C2．(·广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝()．A.B.C．1D.解析ab＝＝＝cosθ，ba＝＝＝cosθ. (ab)×(ba)＝cos2θ. θ∈，∴(ab)×(ba)∈.又 ab和ba都在集合中，不妨设ab＝，ba＝(n1，n2∈Z)，∴(ab)×(ba)＝∈(n1，n2∈Z)．又 θ∈，ab>0，ba>0，∴n1＝n2＝1.∴ab＝.答案D3．(·湖南卷)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP·AC＝________.解析AP·AC＝AP·(AB＋AD)＝AP·(AP＋PB＋AP＋PD)＝2|AP|2＋AP·PB＋AP·PD＝2×9＋0＋0＝18.答案184．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，则a·c＝b·c＝－1，由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2...
