第8讲曲线与方程分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案D2．(·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案D3．(·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案D4．(·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()．A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·泰州月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析由正弦定理，得－＝×，∴|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．答案－＝1(x>0且y≠0)6.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且PM·PF＝0，PM＋PN＝0，则点N的轨迹方程为________．解析由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.答案y2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP＝PB，求点P的轨迹C的方程．解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP＝PB，又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，y0－y)，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y.因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足OP＝(OA＋OB)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|NP|的最大值，最小值．解(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.P(x，y)是AB的中点，则由消去k得4x2＋y2－y＝0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(2)由(1)知4x2＋2＝，∴≤－x≤而|NP|2＝2＋2＝2＋＝－32＋，∴当x＝－时，|NP|取得最大值，当x＝时，|NP|取得最小值.分层B级创新能力提升1．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4)解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案C2．(·沈阳二模)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：xAB＋yAD＋PA＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，|BD|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()．A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1解析如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，∴AB＝(1,0)，AD＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即AP＝(m，n)，...
