1.已知二次函数f(x)的二次项系数为1,且满足f(1-x)=f(1+x),f(2)=-1,则f(x)=__________.2.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(x)的单调增区间为__________.3.若函数f(x)=x2+2x+3a没有零点,则实数a的取值范围是___________.x2-2x-1(-∞,0)1()3,24)1..45[2fxxmxf已知函数在,上是增函数,则的取值范围是28161925.mxmfm由题意可知对称轴,所以,所以解析:[25,+∞)5.若关于x的方程ax2+2x+1=0只有负数解,则实数a的取值范围是_______.[0,1]12121210204402001.1001.axaaxxxxaaxxaa当时,原方程有负数解;当时,原方程只有负数解,设两负数解为,,则,所以<综上所述,解析:二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x(∈-2,6)时,f(x)>0,当x(∈-∞,-2)(6∪∞,+)时,f(x)<0,且f(0)=48,求f(x).22320260(2)(6)41244.821241648.fxaxxfxfxaxxaxaxaaaabbaafxxx依题意知函数的图象是抛物线,且开口向下,故,且=-和=是=的两个根,则设函数=+-=--,比较得,解得所以=-+【+解析】二次函数的表示方法有三种:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);顶点式:y=a(x-b)2+c(a≠0);交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式.根据题目条件,也可以采用顶点式,因为x=-2或6是f(x)=0的两个根,所以x=2是其对称轴方程,22(2)0(2).(0)4816044486441648.ffxaxcfacaaccfxxx于是设=-+由,即,得,所以=-++【变式练习1】已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,函数f(x)的图象恒在直线y=2x+m的上方,求实数m的取值范围.2222222min11(0)(1)(1)112221.1111.2[1,1]1231.1(3)2121.(1)fxaxbxaaxbxaxbxxabbaabbfxxxxxxxmxxmxxxmmm设函数=++,则++++=+++,整理得,解得所以=-+当-时,由-++,得--当=时,-=-,所以--,则-故【解析】实数的取值范围是-,-.二次函数的零点分布【例2】已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的零点都在区间(0,1)上,求实数m的取值范围.222210,12210,1012120110(0)01(1)02112,21(,12]2fxxmxmfxxmxmxmmmmfmfmm函数=+++的零点都在区间上,即函数=+++的图象与轴的交点都在上,根据图象列出不等或式组,解得,所以--所以实数的取值范围是-【】-解析二次函数的零点分布也即二次方程实根分布,若两个零点分布在同一区间,则其充要条件包含三个方面,即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断);若两个零点分布在两个不同区间,则其充要条件包含一个方面,即区间端点的函数值的符号(根据图象判断).【变式练习2】已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,求实数m的取值范围.22221(1,0)1,2221(1,0)1,2120102102514206265051,6251()62fxxmxmfxxmxmxfmfmfmmfmmm函数=+++的零点分别在区间-和上,即函数=+++的图象与轴的交点一个在-上,一个在上,根据图象列出不等式组,解得,所以--所以实数的取值范围是-,【-解析】.定二次函数在动区间上的最值【例3】函数f(x)=-x2+4x-1在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值记为g(t).(1)求g(t)的解析式;(2)求g(t)的最大值【解析】(1)对区间[t,t+1](t∈R)与对称轴x=2的位置关系进行讨论:①当t+1<2,即t<1时,函数f(x)在区间[t,t+1]上递增,此时g(t)=f(t+1)=-t2+2t+2;②当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,函数f(x)在区间[t,t+1]上先增后减,此时g(t)=f(2)=3;2222[1]4122(1)3(1...