大学概率论第三章----随机向量VIP免费

长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第三章随机向量第一节二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y，称二元函数F(x,y)=P{X≦x，Y≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数.(2)0≦F(x,y)≦1,(,)0yFy对于任意的,(,)0xFx对于任意的(,)0(,)1FF，(3)(,),(,)(0,)(,)(,0)FxyxyFxyFxyFxyFxy关于是右连续的，即，1122121222211211(4)(,)(,),,(,)(,)(,)(,)0xyxyxxyyFxyFxyFxyFxy对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为，且(X,Y)取各对可能值的概率为(1)非负性:；,(2)1ijijp规范性：,(,){,}iiijxxyyXYFxyPXxYYp离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ijPXxYYpijXYXY称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。第1页共15页1长沙理工大学备课纸概率论与数理统计(X,Y)的分布律也可用表格形式表示Yy1y2…yi…XX1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…........xipi1pi2pij…例1:从一个裝有2个紅球,3个白球和4个黑球的袋中随机地取3个球,设X和Y分別表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}.解:X的可能值为0,1,2；Y的可能值为0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得3344984{0,0}/PXYCC1231834984{0,1}/PXYCCC2131234984{0,2}/PXYCCC3313984{0,3}/PXYCC1231224984{1,0}/PXYCCC111324234984{1,1}/PXYCCCC123623984{1,2}/PXYCCC213424984{2,0}/PXYCCC213323984{2,1}/PXYCCC於是(X,Y)的分佈可用表示Y0123X04/8418/8412/841/84112/8424/846/84024/843/8400由(X,Y)的分布律,所求概率为{1,2}{0,0}{0,1}{1,0}{1,1}1858412240.69058484848484PXYPXYPXYPXYPXY{2}{0,2}{1,1}{2,0}40122440.476284848484PXYPXYPXYPXY{1}{1,0}{1,1}{1,2}61224420.584848484PXPXYPXYPXY(,){,},,1,2,3(,)(,){,}ijijijijxxyyXYPXxYypijXYFxyPXxYyP设离散型随机变量的分布律为则的分布函数为3、二维连续型随机变量定义5：设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数第2页共15页2长沙理工大学备课纸概率论与数理统计f(x,y),对于任意实数x,y，有(,)(,)xyFxyfuvdvdu(,).XY则称为二维连续型随机向量(,)(,),.fxyXY非负二元函数称为的联合概率密度函数简称为概率密度()fx概率密度的性质：(1)(,)0;fxy(2)(,)1fxydxdy2(,)(3)(,)(,),(,)Fxyfxyxyfxyxy若在连续则(4),{(,)}(,)GGxOyPXYGfxydxdy设为平面的一区域则(,).(2),1,(4),{(,)},(,).zfxyxOyPXYDGzfxy在几何上表示空间的一张曲面由性质知介于该曲面和平面之间空间区域的体积为由性质知的值等于以为底以曲面为顶的曲顶柱体的体积311142422:(,)01,0(,){0(1);(2){};(3){},(4){,},XYAxxyxfxyAPXPYPXY例设随机向量的概率密度为其它求系数100(1)1(,)()33xAfxydxdyAxdydxA解：由概率密度的性质知得33(2){(,)|},{}{(,)},44337{}{(,)}(,)464DDxyxXXYDPXPxyDfxydxdy设则于是12111(3){}(,)216yPYfxydxdy类似地可计算1412111(4){,}(,)4264xyPXYfxydxdy第3页共15页3长沙理工大学备课纸概率论与数理统计二维均匀分布设G是平面上的有界区域,其面积为...