高三第一轮复习讲义【9】-函数的周期性与对称性 VIP免费

2018届高三第一轮复习讲义【8】-函数的周期性与对称性一、知识梳理1.函数的周期性如果对于函数()yfx,如果_____________________,使得当x取定义域D内的任意值时,都有___________________成立,那么函数()yfx叫做周期函数,常数T叫做函数()yfx的________.对于一个周期函数()yfx来说,如果在所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做函数()yfx的最小正周期.2.函数图像的对称性(1)轴对称函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称图形的充要条件是______________________(或者____________________).证明:任取()yfx的图像上的一点00(,)xy,则00(,)xy关于直线xa对称的点为00(2,)axy,函数()yfx的图像关于直线xa成轴对称00(2,)axy也在图像上,即0000(2)(2)()faxyfaxfx,由0x的任意性,()(2)fxfax.以ax代替上式中的x,即有()()faxfax.(2)中心对称函数()yfx的图像关于点(,0)Aa成中心对称图形的充要条件是______________________(或者____________________).一般地,函数()yfx的图像关于点(,)Pab成中心对称图形的充要条件是_____________________(或者________________________).3.拓展：（1）函数()yfx满足()()faxfbx时，函数()yfx的图像关于直线2abx对称；（2）函数()yfx满足()()faxfbxc时，函数()yfx的图像关于点,22abc对称；（3）函数()yfax的图像与()yfbx的图像关于直线2bax对称．（4）1fxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数；存在一个常数T(0T)()()fxTfx周期()()faxfax()(2)fxfax()()0faxfax()(2)fxfax()2(2)fxbfax()()2faxfaxb（5）xfaxf，则xf是以2Ta为周期的周期函数；（6）)(11)(xfaxf，则xf是以aT3为周期的周期函数；（7）)(11)(xfaxf，则xf是以aT3为周期的周期函数；二、基础检测：1.若函数2(2)3,[,]yxaxxab的图像关于直线1x对称,则b_____.2.若函数2()log|2|fxxa的图像关于直线3x对称,则实数a_______.3.函数1lg1xyx的图像关于答[]A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线yx对称4.若函数()yfx定义在R上的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若()fx在[1,0]上是减函数,那么()fx在[2,3]上的单调性是答[]A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增5.定义在R上的函数()yfx的图像关于直线1x对称,(1)若()fx是偶函数,且(0.5)2f,则(7.5)f___________;(2)若()fx是奇函数,则(4)f___________.6.已知定义在R上的函数()yfx满足(3)(3)fxfx,若函数()yfx恰有四个零点,则这四个零点的和为________________.三、例题精讲：例1：函数1sin)1()(22xxxxf的最大值和最小值分别为mM,，则mM__________．答案：2；例2：设()fx是定义在R上的奇函数，且(2)(2)fxfx，(1)f2，则(2)(7)ff______________答案：0；例3：函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_______________答案：51；例4：已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.答案：8；例5:已知函数)(xf为定义在R上的奇函数，且)(xfy的图像关于21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff______________。答案：0；例6、定义在R上的偶函数xf满足x3f3xf，在区间0,3上递减，设5.1fa，2fb，4fc，则（）（A）acb（B）cab（C）cba（D）abc答案：B；例7、已知定义在R上的函数)(xf满足①)()4(xfxf；②对2021xx时，)()(21xfxf；③)2(xfy的图像关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A.)7()5.6()5.4(fffB.)5.6()7()5.4(fffC.)5.6()5.4()7(fffD.)5.4()5.6()7(fff答案：B；例8.定义在R上的函数)(xf图像关于点0,43对称且满足)0(,1)1(),23()(ffxfxf)2005...