2009~2013年高考真题备选题库第7章立体几何第5节直线、平面垂直的判定与性质考点垂直关系1.（2012广东，13分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD.(2)因为E为PB的中点，所以E点到平面ABCD的距离为PH＝，S△BCF＝×CF×AD＝×1×＝.所以三棱锥E－BCF的体积V＝××＝.(3)证明：如右图，取AB的中点M，连接MF、EM，取PA的中点N，连接NE、DN.因为AB∥CD，DF＝AB，所以NE綊AM綊DF，所以四边形DNEF为平行四边形，所以EF綊DN.因为PD＝AD，所以DN⊥PA，又因为AB⊥平面PAD，所以DN⊥AB，PA∩AB＝A，所以DN⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.2.（2012福建，12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接C1M，在△C1MC中，MC1＝，MC＝，CC1＝2，∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M；同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.3.(2011新课标全国，12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由PD＝AD＝1知BD＝，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD，得DE＝.即棱锥D－PBC的高为.4．(2010广东，14分)如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．解：(1)证明：∵点E为AC的中点，且AB＝BC，AC为直径，∴EB⊥AC.∵FC⊥平面BED，且BE⊂平面BED.∴FC⊥EB.∵FC∩AC＝C，∴EB⊥平面BDF，∵FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD.(2)∵FC⊥平面BED，且BD⊂平面BED，∴FC⊥BD.又∵BC＝DC，∴FD＝FB＝a.∴VE－FBD＝·S△FBD·EB＝··2a··a＝.∵EB⊥平面BDF，且FB⊂平面BDF，∴EB⊥BF，∴EF＝＝＝a.∵EB⊥BD，∴ED＝＝＝a.∴S△FED＝·a·＝a2.∴点B到平面FED的距离d＝＝a.
