2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第7节抛物线考点抛物线的定义、标准方程、几何性质1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力．由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|＝|PM|，又|PF|＝4，所以xP＝3，代入抛物线方程求得yP＝2，所以S△POF＝·|OF|·yP＝2.答案：C2．（2013山东，5分）抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平等于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.解析：本题主要考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义，进一步考查了运算求解能力．由图(图略)可知，与C1在点M处的切线平行的渐近线方程为y＝x.设M，则利用求导得切线的斜率为＝，p＝t.易知抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，则点，(2,0)，共线，所以＝，解得t＝，所以p＝.答案：D3．（2013江西，5分）已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3解析：本题主要考查抛物线的定义、标准方程等基础知识，考查数形结合思想与分析、解决问题的能力．过点M作MM′垂直于准线y＝－1于点M′，则由抛物线的定义知|MM′|＝|FM|，所以＝＝sin∠MNM′，而∠MNM′为直线FA的倾斜角α的补角．因为直线FA过点A(2,0)，F(0,1)，所以kFA＝－＝tanα，所以sinα＝，所以sin∠MNM′＝.故|FM|∶|MN|＝1∶.答案：C4．（2013北京，5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.答案：2x＝－15．（2013浙江，14分）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.由解得点M的横坐标xM＝＝＝.同理点N的横坐标xN＝.所以|MN|＝|xM－xN|＝＝8＝.令4k－3＝t，t≠0，则k＝.当t>0时，|MN|＝2>2.当t<0时，|MN|＝2≥.综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.6．（2012山东，5分）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为(0，)，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.答案：D7．（2011新课标全国，5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为(，0)，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，∴p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以△PAB的面积为×6×12＝36.答案：C8．（2011山东，5分）设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2∞，＋)D．[2∞，＋)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2∞，＋)．答案：C9．（2011辽宁，5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解析：...
