第三节简单的线性规划A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2015·四川省统考)已知x，y满足不等式组则z＝2x＋y的最大值与最小值的比值为()A.B.2C.D.解析约束条件对应的区域如图所示，当直线z＝2x＋y过点A(2，2)时，z取得最大值6，当直线z＝2x＋y经过B(1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2.答案B2.(2015·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示图形的面积等于()A.1B.2C.3D.4解析该线性约束条件表示的平面区域如下图所示，该区域为边长为的正方形，故其面积为()2＝2.答案B3.(2015·郑州市一测)已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为()A.17B.18C.20D.21解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域.注意到x2＋y2可视为该平面区域内的点(x，y)与原点间的距离的平方，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，与原点间的距离最远的点是(3，3)，因此x2＋y2的最大值等于32＋32＝18.答案B二、填空题4.(2014·广州市调研)已知实数x，y满足约束条件且目标函数z＝kx＋y的最大值为11，则实数k＝________.解析画图后易知，目标函数在点(2，3)处取到最大值11，所以2k＋3＝11，即k＝4.答案4一年创新演练5.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是()A.(1－，2)B.(0，2)C.(－1，2)D.(0，1＋)解析如图，根据题意得C(1＋，2).作直线－x＋y＝0，并向左上或向下平移，过点B(1，3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2＜z＜－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2).答案A6.设变量x，y满足约束条件其中a>1，若目标函数z＝x＋y的最大值为4，则a的值为________.解析根据题意作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.令y＝－x＋z，则z的几何意义是直线y＝－x＋z的纵截距，故欲使z最大，只需使直线y＝－x＋z的纵截距最大即可.因为a>1，所以直线x＋ay＝7的斜率大于－1，故当直线y＝－x＋z经过直线y＝3x与直线x＋ay＝7的交点时，目标函数z取得最大值，最大值为.由题意得＝4，解得a＝2.答案2B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·晋冀豫三省二调)已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x－y的最大值是()A.6B.0C.2D.2解析由作出可行域，如图，由图可得A(a，－a)，B(a，a)，由S△OAB＝·2a·a＝4，得a＝2，∴A(2，－2)，化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z.∴当y＝2x－z过A点时，z最大，zmax＝2×2－(－2)＝6.答案A8.(2015·唐山一中高三期中)在约束条件下，若目标函数z＝－2x＋y的最大值不超过4，则实数m的取值范围是()A.(－，)B.[0，]C.[－，0]D.[－，]解析该约束条件表示平面区域如图所示，作出z＝－2x＋y的基本直线l0：y＝2x，经平移，知z＝－2x＋y在点A处取最大值zmax＝－2·＋＝≤4，解得：m∈[－，].答案D9.(2014·广东惠州调研)在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D.在映射T：的作用下，区域D内的点(x，y)对应的象为点(u，v)，则由点(u，v)所形成的平面区域的面积为()A.2B.4C.8D.16解析由T：得代入不等式组得画出可行域如图所示，所以由点(u，v)所形成的平面区域的面积为×4×4＝8.答案C二、填空题10.(2014·东北三校联考)不等式组表示的平面区域内到直线y＝2x－4的距离最远的点的坐标为________.解析在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y＝2x－4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1，0)到直线y＝2x－4的距离最远.答案(－1，0)一年创新演练11.设x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为2，则＋的最小值为()A.25B.19C.13D.5解析画出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).由z＝ax＋by知y＝－x＋，故该直线经过可行域内的点A时，z有最大值，由得∴zmax＝4a＋6b＝2.∴＋＝(4a＋6b)＝≥＝25.当且仅当＝，且4a＋6b＝2，即a＝b＝时等号成立.答案A12.如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为________.解析因为M、N两点关于直线x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，而圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的圆心在直线x＋y＝0上，所以m＝－1，则不等式组表示的平面区域就是一个斜边长为1的等腰直角三角形，面积为.答案
