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高考数学二轮复习简易通 1-5 平面向量 理科VIP免费

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第五辑平面向量[通关演练](建议用时:40分钟)1.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为().A.B.C.D.解析由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,∴AC=3.由正弦定理,得==.答案D2.已知向量OA=(4,6),OB=(3,5),且OC⊥OA,AC∥OB,则向量OC=().A.B.C.D.解析设OC=(x,y),则AC=OC-OA=(x,y)-(4,6)=(x-4,y-6),又OC⊥OA,AC∥OB,故解得答案D3.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为().A.B.C.D.解析a·(b-a)=a·b-a2=2.所以a·b=3,cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=.答案B4.在平面四边形ABCD中,满足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则四边形ABCD是().A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形解析因为AB+CD=0,所以AB=-CD=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,又·AC=DB·AC=0,所以四边形的对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.答案C5.在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为().A.B.3C.D.7解析S=×AB·ACsin60°=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=.答案A6.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则△ABC的面积为().A.B.C.或D.或解析由正弦定理可知,=,所以sinC=,所以C=或C=,所以A=π--=或A=π--=.所以S△ABC=××1×sin=或S△ABC=××1×sin=.答案C7.已知O,A,M,B为平面上不同的四点,且OM=λOB+(1-λ)OA,λ∈(1,2),则().A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,M,B四点共线解析根据题意知OM=λOB+OA-λOA=λ(OB-OA)+OA,则OM-OA=λ(OB-OA),即AM=λAB.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上,即点B在线段AM上.答案B8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=AB,则DM·DB等于().A.-B.C.-1D.1解析DM=DA+AM=DA+AB,DB=DA+AB,所以DM·DB=(DA+AB)·(DA+AB)=DA2+AB2+DA·AB=1+-AD·AB=-|AD||AB|cos60°=-×1×2×=1.答案D9.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=().A.B.2-C.-1D.解析在△ABC中,由正弦定理可知,BC===50(-),在△BCD中,sin∠BDC===-1.由题图,知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.答案C10.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为().A.-1B.1C.+1D.解析|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a+b)·c,因为a·b=0,且|a|=|b|=|c|=1,所以|a+b|=,所以(a+b)·c=|a+b||c|·cos〈a+b,c〉=cos〈a+b,c〉,即|a+b-c|2=3-2·cos〈a+b,c〉,所以当cos〈a+b,c〉=1时,|a+b-c|2最小值为|a+b-c|2=3-2=(-1)2,所以|a+b-c|min=-1.答案A11.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.解析由题意,知(a+b)·(ka-b)=0,即ka2-a·b+ka·b-b2=0,(k-1)a·b+(k-1)=0,∴(k-1)(a·b+1)=0,∴k=1.答案112.已知△ABC的三边成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为________.解析设△ABC的三边a,b,c成公比为的等比数列,∴b=a,c=2a.则cosC===-.答案-13.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,〈AB,AC〉=60°,则|OA|=________.解析因为〈AB,AC〉=60°,所以AB·AC=|AB||AC|·cos60°=3×=,又AO=(AB+AC),所以AO2=(AB+AC)2=,即AO2=(1+3+9)=,所以|OA|=.答案14.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=________.解析在△ABC中,∵cosA=>0,∴sinA=.∵cosB=>0,∴sinB=.∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.由正弦定理,知=,则c==.答案15.定义平面向量的一种运算:ab=|a||b|sin〈a,b〉,则下列命题:①ab=ba;②λ(ab)=(λa)b;③(a+b)c=(ac)+(bc);④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号).解析由定义知ba=|b||a|sin〈a,b〉=ab,所以①正确.②当λ<0时,〈λa,b〉=π-〈a,b〉,所以b=|λa||b|sin〈λa,b〉=-λ|a||b|sin〈a·b〉,而λ(ab)=λ|a||b|sin〈a,b〉,所以②不成立.③因为a+b=0显然不成立,所以③不成立.④(ab)2=|a|2·|b|2sin2〈a,b〉=|a|2·|b|2(1-cos2〈a,b〉)=|a|2·|b|2-|a|2·|b|2cos2〈a,b〉=|a|2·|b|2-(a·b)2=-2=2,所以ab=|x1y2-x2y1|,所以④成立.答案①④

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