高考数学二轮复习简易通 1-5 平面向量 理科VIP免费

第五辑平面向量[通关演练](建议用时：40分钟)1．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A.B.C.D.解析由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，∴AC＝3.由正弦定理，得＝＝.答案D2．已知向量OA＝(4,6)，OB＝(3,5)，且OC⊥OA，AC∥OB，则向量OC＝()．A.B.C.D.解析设OC＝(x，y)，则AC＝OC－OA＝(x，y)－(4,6)＝(x－4，y－6)，又OC⊥OA，AC∥OB，故解得答案D3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()．A.B.C.D.解析a·(b－a)＝a·b－a2＝2.所以a·b＝3，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.答案B4．在平面四边形ABCD中，满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是()．A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形，又·AC＝DB·AC＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案C5．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A.B．3C.D．7解析S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.答案A6．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积为()．A.B.C.或D.或解析由正弦定理可知，＝，所以sinC＝，所以C＝或C＝，所以A＝π－－＝或A＝π－－＝.所以S△ABC＝××1×sin＝或S△ABC＝××1×sin＝.答案C7．已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线解析根据题意知OM＝λOB＋OA－λOA＝λ(OB－OA)＋OA，则OM－OA＝λ(OB－OA)，即AM＝λAB.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．答案B8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则DM·DB等于()．A．－B.C．－1D．1解析DM＝DA＋AM＝DA＋AB，DB＝DA＋AB，所以DM·DB＝(DA＋AB)·(DA＋AB)＝DA2＋AB2＋DA·AB＝1＋－AD·AB＝－|AD||AB|cos60°＝－×1×2×＝1.答案D9．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝()．A.B．2－C.－1D.解析在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)，在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由题图，知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.答案C10．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为()．A.－1B．1C.＋1D.解析|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c，因为a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，所以|a＋b|＝，所以(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，即|a＋b－c|2＝3－2·cos〈a＋b，c〉，所以当cos〈a＋b，c〉＝1时，|a＋b－c|2最小值为|a＋b－c|2＝3－2＝(－1)2，所以|a＋b－c|min＝－1.答案A11．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析由题意，知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.答案112．已知△ABC的三边成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析设△ABC的三边a，b，c成公比为的等比数列，∴b＝a，c＝2a.则cosC＝＝＝－.答案－13．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.解析因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB||AC|·cos60°＝3×＝，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝，即AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.答案14．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.解析在△ABC中，∵cosA＝>0，∴sinA＝.∵cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理，知＝，则c＝＝.答案15．定义平面向量的一种运算：ab＝|a||b|sin〈a，b〉，则下列命题：①ab＝ba；②λ(ab)＝(λa)b；③(a＋b)c＝(ac)＋(bc)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab＝|x1y2－x2y1|.其中真命题是________________________(写出所有真命题的序号)．解析由定义知ba＝|b||a|sin〈a，b〉＝ab，所以①正确．②当λ<0时，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以b＝|λa||b|sin〈λa，b〉＝－λ|a||b|sin〈a·b〉，而λ(ab)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，所以②不成立．③因为a＋b＝0显然不成立，所以③不成立．④(ab)2＝|a|2·|b|2sin2〈a，b〉＝|a|2·|b|2(1－cos2〈a，b〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos2〈a，b〉＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝－2＝2，所以ab＝|x1y2－x2y1|，所以④成立．答案①④