第二辑概率与统计问题[通关演练A组](建议用时：40分钟)1“”“”．中国航母辽宁号是中国第一艘航母，辽宁号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，，.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．解(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C“，则事件得分不低于8”分表示ABC＋AC.∴P(ABC＋AC)＝P(ABC)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＝××＋××＝.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝P()＝××＝，P(X＝1)＝P(A＋B＋C)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝P(AB＋BC＋AC)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，随机变量X的分布列为X0123P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.2．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．求甲乙两人玩此游戏获奖的概率．解由题意基本事件的总数为C×C＝36(个)，记事件A“”为甲乙两人一次竞猜成功，若|a－b|＝0，则共有6种竞猜成功；若|a－b|＝1，a＝1,2,3,4时，b分别有2个值；而a＝0或5时，b只有一种取值．利用古典概型的概率计算公式即可得出P(A)＝＝.设随机变量X表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则甲、乙两人获奖的概率P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×03－C12＝.3．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A，B，C，D，E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A，B，C，D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为.(1)求该生被录取的概率；(2)记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．解(1)该生被录取，则A，B，C，D四项考试有4项合格或3项合格，并且第五项也合格，所以该生被录取的概率为P＝＝.(2)该生参加考试的项数X可以是2,3,4,5.P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝C××＝；P(X＝4)＝C×2×＝；P(X＝5)＝1－－－＝.X的分布列为：X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.[通关演练B组](建议用时：40分钟)1．某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．解(1)由茎叶图可知甲班有4人及格，乙班5人及格．“事件从两班10”名学生中各抽取一人，至少有一人及格记作A，则P(A)＝1－＝1－＝.(2)X取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝·＝，P(X＝1)＝·＋·＝，P(X＝2)＝·＋·＝，P(X＝3)＝·＝.所以X的分布列为X0123P因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.2．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字－1,0,1,2.“称从盒中随”机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回为一次试验(设每次试验的结果互不影响)．(1)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(2)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(3)在两次试验中，记卡片上的数字分别为X，η，试求随机变量X＝X·η的分布列与数学期望E(X)．解(1)记事件A“”为在一次试验中，卡片上的数字为正数，则P(A)＝＝.(2)记事件B“”为在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由(1)可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是.所以P(B)＝1－＝.(3)由题意可知，X，η的可能取值都为－1,0,1,2，所以随机变量X...
