第二辑概率与统计问题[通关演练A组](建议用时:40分钟)1“”“”.中国航母辽宁号是中国第一艘航母,辽宁号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为,,.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率;(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.解(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C“,则事件得分不低于8”分表示ABC+AC.∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)=××+××=.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3.P(X=0)=P()=××=,P(X=1)=P(A+B+C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB+BC+AC)=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,随机变量X的分布列为X0123P∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.2.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:①连续竞猜3次,每次相互独立;②每次竞猜时,先由甲写出一个数字,记为a,再由乙猜甲写的数字,记为b,已知a,b∈{0,1,2,3,4,5},若|a-b|≤1,则本次竞猜成功;③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖.求甲乙两人玩此游戏获奖的概率.解由题意基本事件的总数为C×C=36(个),记事件A“”为甲乙两人一次竞猜成功,若|a-b|=0,则共有6种竞猜成功;若|a-b|=1,a=1,2,3,4时,b分别有2个值;而a=0或5时,b只有一种取值.利用古典概型的概率计算公式即可得出P(A)==.设随机变量X表示在3次竞猜中竞猜成功的次数,则甲、乙两人获奖的概率P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C×03-C12=.3.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A,B,C,D,E五项考试,如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加A,B,C,D四项考试不合格的概率均为,参加第五项不合格的概率为.(1)求该生被录取的概率;(2)记该生参加考试的项数为X,求X的分布列和期望.解(1)该生被录取,则A,B,C,D四项考试有4项合格或3项合格,并且第五项也合格,所以该生被录取的概率为P==.(2)该生参加考试的项数X可以是2,3,4,5.P(X=2)=×=;P(X=3)=C××=;P(X=4)=C×2×=;P(X=5)=1---=.X的分布列为:X2345PE(X)=2×+3×+4×+5×=.[通关演练B组](建议用时:40分钟)1.某次考试中,从甲,乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析,两班10名学生成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分为及格.(1)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一个及格的概率;(2)从甲班10人中取两人,乙班10人中取一人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由茎叶图可知甲班有4人及格,乙班5人及格.“事件从两班10”名学生中各抽取一人,至少有一人及格记作A,则P(A)=1-=1-=.(2)X取值为0,1,2,3.P(X=0)=·=,P(X=1)=·+·=,P(X=2)=·+·=,P(X=3)=·=.所以X的分布列为X0123P因此E(X)=0×+1×+2×+3×=.2.盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字-1,0,1,2.“称从盒中随”机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回为一次试验(设每次试验的结果互不影响).(1)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率;(2)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;(3)在两次试验中,记卡片上的数字分别为X,η,试求随机变量X=X·η的分布列与数学期望E(X).解(1)记事件A“”为在一次试验中,卡片上的数字为正数,则P(A)==.(2)记事件B“”为在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数.由(1)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是.所以P(B)=1-=.(3)由题意可知,X,η的可能取值都为-1,0,1,2,所以随机变量X...