[大题押题练D组](建议用时：80分钟)1．已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且AB·AC＝9，求a的值．解f(x)＝sin＋2cos2x－1＝－cos2x＋sin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝sin.(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ≤－2x≤＋2kπ＋(k∈Z)，得kπ≤－x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由f(A)＝sin＝得2A＋＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，即A＝kπ或A＝＋kπ，又A为△ABC的内角，所以A＝.又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c. AB·AC＝bccosA＝bc＝9，∴bc＝18，∴cosA＝＝－1＝－1＝－1.∴a＝3.2．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．解(1)由题意可得3an＋1＋2Sn－3＝0，①n≥2时，3an＋2Sn－1－3＝0，②①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，∴＝(n≥2)，a1＝1,3a2＋a1－3＝0，∴a2＝，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.(2)由(1)知：Sn＝＝.若为等差数列，则S1＋λ·1＋，S2＋λ·2＋，S3＋λ·3＋成等差数列，∴2＝S1＋λ＋S3＋λ，解得λ＝.又λ＝时，Sn＋·n＋＝，显然成等差数列，故存在实数λ＝，使得数列成等差数列．3．某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6.(1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率；(2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和数学期望；(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．解(1)“在A”处投篮命中记作事件A“，不中记作，在B”处投篮命中记作事件B，不中记作，该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件(B)∪(B)，则其概率P1＝P(B)＋P(B)＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X所有可能取的值为0,2,4.则P(X＝0)＝(1－0.6)×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.064，P(X＝2)＝C×0.6×0.42＝0.288，P(X＝4)＝0.6×0.6＋C×0.62×0.4＝0.648，∴X的分布列是X024P0.0640.2880.648∴E(X)＝0×0.064＋2×0.288＋4×0.648＝3.168.(3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P2，P2＝P(A)＋P(BB)＝0.4＋(1－0.4)×0.6×0.6＝0.616，又选择方案2通过测试的概率P3＝0.648>0.616，所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．4．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.(1)求证：面PCD⊥面PBD；(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由．(1)证明PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，又 CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB⊂平面PBD.∴CD⊥平面PBD，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBD.(2)解如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝a，BP＝b，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)． PD＝(2,2，－b)，CD＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，∴CD·PD＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，又PA＝(2,0，－b)，CD＝(2，－2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60°，∴＝，即＝，解得b＝2，PC＝(0,4，－2)，AD＝(0,2,0)，PA＝(2,0，－2)．设平面PAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由得取n1＝(1,0,1)， sinθ＝＝＝，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(3)解假设存在，设PE＝λPA，且E(x，y，z)，则(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，设平面DEB的一个法向量为n2＝(x2...
