27平面向量的数量积及其应用导学目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③a·a＝________________或|a|＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤|a·b|____|a||b|.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝________；(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________；(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB＝________________________，所以|AB|＝_____________________.自我检测1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．162．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．83．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于()A．－2B．2C.D．－4.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.探究点一向量的模及夹角问题例1(2011·马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；（3）若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．变式迁移1(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.D.(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二两向量的平行与垂直问题例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k>0)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)用k表示a·b；(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2(2009·江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例3已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．变式迁移3（2010·四川）已知△ABC的面积S=AB·AC·＝3，且cosB＝，求cosC.1．一些常见的错误结论：(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0；(5)|a·b|＝|a|·|b|；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|＝＝|a|＝a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2a与b共线的充要条件A∥b(b≠0)⇔a＝λba∥b⇔x1y2－x2y1＝0非零向量a，b垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0向量a与b的夹角cosθ＝cosθ＝3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=CD，可转化证明AB2＝CD2或|AB|＝|CD|.（2）要证两线段AB∥CD，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB＝λCD成立即可．（3）要证两线段AB⊥CD，只需证AB·CD＝0...
